Em cada um dos problemas de 13 a 18:

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier da função dada.

f x = - x ,     - L ≤ x < L ; f x + 2 L = f ( x )

Passo 1

(a) O gráfico pode ser dado por um CAS (caso do Geogebra, Desmos, Symbolab).

O gráfico esboçado é dado por:

Passo 2

(b) Esta função é periódica com o período 2 L .

Assim, neste caso, L da fórmula (1) na página 597 e L do problema são os mesmos, e a série de Fourier tem a forma:

f x = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ m π x L + b m sen ⁡ m π x L

Observe que f ( x ) é uma função ímpar ( f ( - x )   =   - f ( x ) ) . Conforme descrito em (8) na página 616, temos:

a n = 0 ,         n = 0,1 , 2 …

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x   ,   n = 1,2 …

Então:

b n = 2 L ∫ 0 L - x sen ⁡ n π x L d x

Logo:

= 2 L - L 2 π 2 n 2 - n π x L cos ⁡ n π x L + sen ⁡ n π x L 0 L

= 2 L n π x n π = 2 L - 1 n n π

Finalmente, substituímos os coeficientes pela fórmula e obtemos:

f x = 2 L π ∑ m = 1 ∞ - 1 n n sen ⁡ n π x L

Resposta

f x = 2 L π ∑ m = 1 ∞ - 1 n n sen ⁡ n π x L

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