Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.2 - Ex. 23

f x = - 1 2 x , - 2 ≤ x < 0 , 2 x - 1 2 x 2 , 0 ≤ x < 2  

f x + 4 = f ( x )

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.

(c) Faça o gráfico da soma parcial s m ( x ) em função de x para m = 5, 10 e 20.

(d) Descreva como a série de Fourier parece estar convergindo.

Passo 1

O item (a) nos pede para desenhar o gráfico da função. A nossa função é y = - 1 2 x para o intervalo - 2 ≤ x < 0 e y = 2 x - 1 2 x 2 para 0 ≤ x < 2 . O que vamos fazer é esboçar a função para este período e estendê-la para um perído anterior e para o perído seguinte. Ficamos então com algo da forma:

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para encontrar a série de Fourier para a função f ( x ) . A série de Fourier é uma equação da forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 m a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Precisamos então obter os termos a 0 ,   a n ,   b n e L . O intervalo de uma função escrita como série de Fourier é definido como - L ≤ x < L . Então, para a nossa função L = 2 . Tudo bem?

O próximo passo é o cálculo dos coeficientes. O coeficiente a 0 é definido por:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

a 0 = 1 2 ∫ - 2 0 - 1 2 x d x + ∫ 0 2 2 x - 1 2 x 2 d x

a 0 = 1 2 - x 2 4 - 2 0 + x 2 - x 3 6 0 2

a 0 = 1 2 0 + 4 4 + 4 - 8 6 - 0 + 0 = 1 2 5 - 4 3 = 11 6

Agora vamos determinar a n :

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

a n = 1 2 ∫ - 2 0 - 1 2 x cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ 0 2 2 x - 1 2 x 2 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 1 2 - 1 n π x sen ⁡ n π x 2 - 2 0 + 1 n π ∫ - 2 0 sen ⁡ n π x 2 d x + 4 n π x sen ⁡ n π x 2 0 2 - 4 n π ∫ 0 2 sen ⁡ n π x 2 d x - 2 n π x 2 2 sen ⁡ n π x 2 - 2 2 + 2 n π ∫ - 2 2 x sen ⁡ n π x 2 d x

a n = 1 2 - 1 n π 0 - ( - 2 ) sen ⁡ - n π - 2 n π 2 cos ⁡ n π x 2 - 2 0 + 4 n π 2 sen ⁡ n π - 0 + 8 n π 2 cos ⁡ n π x 2 0 2 - 2 n π 4 2 sen ⁡ n π - 0 + 2 n π - 2 n π x cos ⁡ n π x 2 0 2 + 2 n π ∫ 0 2 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 1 2 - 2 n π 2 1 - cos ⁡ - n π + 8 n π 2 cos ⁡ n π - 1 - 4 n π 2 2 cos ⁡ n π - 0 + 8 n π 3 sen ⁡ n π x 2 0 2

a n = 1 2 - 10 n π 2 1 - cos ⁡ n π - 8 n π 2 cos ⁡ n π + 4 n π 3 sen ⁡ n π - 0

a n = - 5 n π 2 + 1 n π 2 cos ⁡ n π

Por fim, vamos calcular b n :

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 1 2 ∫ - 2 0 - 1 2 x sen ⁡ n π x 2 d x + ∫ 0 2 2 x - 1 2 x 2 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = 1 2 1 n π x cos ⁡ n π x 2 - 2 0 - 1 n π ∫ - 2 0 cos ⁡ n π x 2 d x - 4 n π x cos ⁡ n π x 2 0 2 + 4 n π ∫ 0 2 cos ⁡ n π x 2 d x + 2 n π x 2 2 cos ⁡ n π x 2 0 2 - 2 n π ∫ 0 2 x cos ⁡ n π x 2 d x

b n = 1 2 1 n π 0 - - 2 cos ⁡ - n π - 2 n π 2 sen ⁡ n π x 2 - 2 0 - 4 n π 2 cos ⁡ n π - 0 + 8 n π 2 sen ⁡ n π - 0 + 2 n π 2 cos ⁡ n π - 0 - 2 n π 2 n π x sen ⁡ n π x 2 0 2 - 2 n π ∫ 0 2 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = 1 2 2 n π cos ⁡ n π - 2 n π 2 0 - sen ⁡ - n π - 8 n π cos ⁡ n π + 4 n π cos ⁡ n π - 4 n π 2 2 sen ⁡ n π - 0 - 8 n π 3 cos ⁡ n π x 2 0 2

b n = 1 2 - 2 n π cos ⁡ n π - 8 n π 3 cos ⁡ n π - 1

b n = - 1 n π cos ⁡ n π - 4 n π 3 cos ⁡ n π - 1

Aplicando na função:

f x = 11 12 + ∑ n = 1 m ( - 5 n π 2 + 1 n π 2 cos ⁡ n π ) cos ⁡ n π x 2 + - 1 n π cos ⁡ n π - 4 n π 3 cos ⁡ n π - 1 sen ⁡ n π x 2

f x = 11 12 + 1 π 2 ∑ n = 1 m cos ⁡ n π - 5 n 2 cos ⁡ n π x 2 + ∑ n = 1 m - 1 n π cos ⁡ n π + 4 n π 3 1 - cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2

Como cos ⁡ n π só possui valor 1 para n par e - 1 para n ímpar vamos reescrevê-lo como:

cos ⁡ n π = - 1 n

Então

f x = 11 12 + 1 π 2 ∑ n = 1 m - 1 n - 5 n 2 cos ⁡ n π x 2 + ∑ n = 1 m 4 1 - - 1 n n π 3 - - 1 n n π sen ⁡ n π x 2

Passo 3

Vamos agora para o item (c). Ele nos pede para montar os gráficos de s m ( x ) para 5, 10 e 20 termos. Com o auxílio de Excel podemos montar o somatório para m = 5 , 10 e 20. A seguir são mostrados os gráficos das somas e da função:

Vamos agora responder o item (d). A partir da análise do gráfico podemos ver que a série de Fourier converge para a função f ( x ) . Alternativamente podemos verificar que os valores de a n e b n decrescem com o aumento de n :

Como isso acontece, o esperado é que para n → ∞ , a n , b n → 0 , e por isso, para um n suficientemente grande, o valor do somatório deve convergir para um valor único.

Resposta

(a)

(b) f x = 11 12 + 1 π 2 ∑ n = 1 m - 1 n - 5 n 2 cos ⁡ n π x 2 + ∑ n = 1 m 4 1 - - 1 n n π 3 - - 1 n n π sen ⁡ n π x 2

(c)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. x 2
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. s en ⁡ h 2 x
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. f x = - 1 n , 2 n - 1 ≤ x2 n 1 , 2 n ≤ x2 n + 1n = 0 , ± 1 , ± 2 …
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. s en ⁡ π x / L
Verifique as Eqs. (6) e (7) nessa seção integrando diretamente.