Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 20

Em cada um dos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.

t y ' + t + 1 y = t ,         y ln ⁡ 2 = 1 ,       t > 0

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

t y ' + t + 1 y = t

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' + t + 1 t μ t   y = μ t   1

De modo que

d μ t d t = t + 1 t μ t   ⟹     d μ t μ t = t + 1 t d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = t + 1 t d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ t + 1 t d t   ⟹   ln ⁡ μ t = t + ln ⁡ t   ⟹   μ t = e t + ln ⁡ t

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' + t + 1 t μ t   y = μ t   1 ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t   ⟹   d   μ t   y =   μ t d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ e t + ln ⁡ t y =   ∫ e t + ln ⁡ t d t = e t ( t - 1 ) + C

y   =   e t t - 1 + C t e t

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

y ln ⁡ 2 = 1 = ( e ln ⁡ 2   ( ln ⁡ 2 - 1 ) + C ) / e ln ⁡ 2 + ln ⁡ ln ⁡ 2 ⟹ C = 2  

y t = e t t - 1 + 2 t e t = t - 1 + 2 e - t t

Resposta

y t =   t - 1 + 2 e - t t ,   t   ≠ 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 39 a 42, use o método do Problema 38 para resolver a equação diferencial dada. t y ' - 2 y = s e nt , t 0
Em cada um dos problemas de 39 a 42, use o método do Problema 38 para resolver a equação diferencial dada. y ' - 2 y =t 2 e 2 t
Em casa um dos problemas de 19 a 22, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata multiplicando pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação. x 2 y 3 + x 1 + y 2 y ' = 0 ,μ x , y
Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada. 3 ⋅ x 2 ⋅ y + 2 ⋅ x ⋅ y + y 3 + x 2 + y 2 ⋅ y ' = 0
Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada. y = e 2 ⋅ x + y - 1