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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 25

Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada.

3 ⋅ x 2 ⋅ y + 2 ⋅ x ⋅ y + y 3 + x 2 + y 2 ⋅ y ' = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método do fator integrante supondo que o mesmo é dependente apenas de uma variável pela relação encontrada no capitulo, onde

μ ' = M y - N x N ⋅ μ

Após isso iremos resolver a nossa nova equação pelo método das diferenciais exatas para encontrarmos nossa solução. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular nosso M y e N x . Temos que M y = ( 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x + 3 ⋅ y 2 ) e nosso N x = 2 ⋅ x . Usando a relação do passo 1, temos que

μ ' = 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x + 3 ⋅ y 2 - 2 ⋅ x x 2 + y 2 ⋅ μ = 3 ⋅ x 2 + 3 ⋅ y 2 x 2 + y 2 ⋅ μ = 3 ⋅ μ

Sendo então

d μ d x = 3 ⋅ μ → μ = e 3 ⋅ x

Multiplicando nosso fator integrante agora na equação, ficamos com

e 3 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ x 2 ⋅ y + 2 ⋅ x ⋅ y + y 3 + e 3 ⋅ x ⋅ x 2 + y 2 ⋅ y ' = 0

Se calcularmos agora M y e N x , teremos que M y = e 3 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x + 3 ⋅ y 2 = N x , como queríamos. Integrando nosso novo M em relação a x , usando integral por partes, temos que nossa ψ ( x , y ) será

ψ x , y = y ⋅ e 3 ⋅ x ⋅ x 2 - 2 3 ⋅ x + 2 9 + 2 9 ⋅ y ⋅ e 3 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ x - 1 + 1 3 ⋅ y 3 ⋅ e 3 ⋅ x + g y

Derivando essa equação em relação a y e igualando a N , temos que

ψ y x , y = e 3 ⋅ x ⋅ x 2 - 2 3 ⋅ x + 2 9 + 2 9 ⋅ e 3 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ x - 1 + y 2 ⋅ e 3 ⋅ x + g ' y = N

Que nos dará

y 2 + g ' y = y 2

Sendo então g y = C . Substituindo em nosso ψ ( x , y ) , temos que nossa solução implícita é que

ψ x , y = y ⋅ e 3 ⋅ x ⋅ x 2 - 2 3 ⋅ x + 2 9 + 2 9 ⋅ y ⋅ e 3 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ x - 1 + 1 3 ⋅ y 3 ⋅ e 3 ⋅ x = C

Resposta

y ⋅ e 3 ⋅ x ⋅ x 2 - 2 3 ⋅ x + 2 9 + 2 9 ⋅ y ⋅ e 3 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ x - 1 + 1 3 ⋅ y 3 ⋅ e 3 ⋅ x = C

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