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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 26

Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada.

y = e 2 ⋅ x + y - 1

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método do fator integrante supondo que o mesmo é dependente apenas de uma variável pela relação encontrada no capitulo, onde

μ ' = M y - N x N ⋅ μ

Após isso iremos resolver a nossa nova equação pelo método das diferenciais exatas para encontrarmos nossa solução. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos manipular nossa relação. Temos que os próprios termos em y se anulam, nos restando a equação como

e 2 ⋅ x - 1 = 0

Calculando nosso M y e N x . Temos que M y = 0 e nosso N x = 0 . Usando a relação do passo 1, temos que

μ ' = 0 - 0 1 ⋅ μ = 0

Não sendo necessário então um fator integrante. Integrando nosso M em relação a x , temos que nossa ψ ( x , y ) será

ψ x , y = 1 2 ⋅ e 2 ⋅ x + g y

Derivando essa equação em relação a y e igualando a N , temos que

ψ y x , y = 0 + g ' y = N = - 1

Sendo então g y = - y . Substituindo em nosso ψ ( x , y ) , temos que nossa solução implícita é que

ψ x , y = 1 2 ⋅ e 2 ⋅ x - y = C

Resposta

1 2 ⋅ e 2 ⋅ x - y = C

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