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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 18

Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1 e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e 20, g é uma função contínua arbitrária.

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 0,25 y = 3 x 3 2 sen ⁡ x ,   x > 0  

y 1 x = x - 1 / 2 sen ⁡ x ;     y 2 x = x - 1 / 2 cos ⁡ x

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 0,25 y = 3 x 3 2 sen ⁡ x        

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Passo 2

Dividindo tudo por x 2 :

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 0,25 y = 3 x 3 2 sen ⁡ x        

y ″ + 1 x y ' + x - 0,25 x 2 y   = 3 x - 1 2 sen ⁡ x        

Então:

g x = 3 x - 1 2 sen ⁡ x

Se:

y 1 x = x - 1 / 2 sen ⁡ x     e     y 2 x = x - 1 / 2 cos ⁡ x

As derivadas serão:

y 1 ' t = - 1 2 x - 3 2 sen ⁡ x + x - 1 2 cos ⁡ x

y 2 t = - 1 2 x - 3 2 cos ⁡ x - x - 1 2 sen ⁡ x

Então, o Wronskiano pode ser dado por:

W y 1 , y 2 = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = x - 1 / 2 sen ⁡ x x - 1 / 2 cos ⁡ x - 1 2 x - 3 2 sen ⁡ x + x - 1 2 cos ⁡ x - 1 2 x - 3 2 cos ⁡ x - x - 1 2 sen ⁡ x

W = x - 1 / 2 sen ⁡ x - 1 2 x - 3 2 cos ⁡ x - x - 1 2 sen ⁡ x - x - 1 / 2 cos ⁡ x - 1 2 x - 3 2 sen ⁡ x + x - 1 2 cos ⁡ x

W = - x - 1 sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = - x - 1

Passo 3

Aplicando as fórmulas do passo 1, podemos calcular também u 1 e u 2 :

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t = - ∫ x - 1 2 cos ⁡ x 3 x - 1 2 sen ⁡ x - x - 1 d x = ∫ 3 cos ⁡ x sin ⁡ x d x = - 3 2 cos 2 ⁡ x    

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t = ∫ x - 1 2 sen ⁡ x 3 x - 1 2 sen ⁡ x - x - 1 d x = ∫ 3 sen 2 ⁡ x d x   = 3 2 sen ⁡ x cos ⁡ x - 3 2 x

Passo 4

Sabemos que:

Y t = x - 1 2 sen ⁡ x - 3 2 cos 2 ⁡ x + x - 1 2 cos ⁡ x 3 2 sen ⁡ x cos ⁡ x - 3 2 x

Multiplicando e somando:

Y t = - 3 2 x 1 2 co s ⁡ x

Resposta

Y t = - 3 2 x 1 2 cos ⁡ x

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