Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.

y'' + y = 0; y'(0) = 1; y(L) = 0

Passo 1

O primeiro passo para resolver os problemas de valores de contorno, precisamos encontrar a equação característica, se tivermos uma EDO do tipo:

y ' ' + μ 2 y = 0

A equação polinomial característica pode ser dada por:

r 2 + μ 2 = 0

As raízes de r serão:

r = ± i

E a solução geral será dada por:

y = c 1 cos ⁡ μ x + c 2 sen ⁡ μ x

Passo 2

Aplicando com os valores fornecidos pelo problema, temos que:

y ' ' + y = 0

Vamos encontrar a equação característica se μ = 1 :

r 2 + 1 = 0

r 2 = - 1

r = ± i

A solução geral pode ser dada por:

y = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x

Aplicando o primeiro termo inicial, temos que y ' 0 = 0 :

y ' = - c 1 sen ⁡ x + c 2 cos ⁡ x

y ' 0 = - c 1 sen ⁡ 0 + c 2 cos ⁡ 0 = 1

c 2 = 1

Aplicando a outra condição dada:

y L = 0

y L = 1 cos ⁡ L + c 2 sen ⁡ L = 0

c 2 sen ⁡ L = cos ⁡ L

c 2 = - tg ⁡ L

Então:

y = - tg ⁡ L cos ⁡ x + sen ⁡ x

Sem solução se L = 0 e se cos ⁡ L ≠ 0 .

Resposta

y = - tg ⁡ L cos ⁡ x + sen ⁡ x

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