Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.1 - Ex. 24c
Vamos considerar agora um problema de autovalores de ordem mais alta. A análise das vibrações transversas de uma barra elástica uniforme se baseia na equação diferencial
em que é o deslocamento transversal ; é a massa por unidade de comprimento da barra, é o módulo de Young,é o momento de inércia da seção reta em relação a um eixo perpendicular ao plano de vibração que contém o centroide, e é a frequência de vibração. Então, para uma barra cujas propriedades materiais e geométricas são dadas, os autovalores determinam as frequências naturais de vibração. As condições de contorno em cada extremidade são, em geral, de um dos seguintes tipos:
Para cada um dos três casos a seguir, encontre a forma das autofunções e a equação satisfeita pelos autovalores desse problema de valores de contorno de quarta ordem. Determine e , os dois autovalores de menor módulo. Suponha que os autovalores são reais e positivos.
Passo 1
Poxa, a primeira coisa a se fazer aqui, certamente é encontrar o protótipo de soluções da EDO:
Usando a equação característica:
Resolvendo essa equação...
As raízes dessa equação podem então ser determinadas usando Euler para a representação dos números complexos:
Ou...
Fazendo variar de a , vamos determinar todas as raízes dessa equação que serão:
Dado duas raízes reais e duas complexas conjugadas, a solução da EDO será:
Onde , , e são constantes a determinar através das condições iniciais .
Passo 2
Vamos começar trabalhando com as duas condições referentes ao ponto inicial:
Trabalhando inicialmente com a condição sobre a função...
Para a segunda condição, entretanto, dependemos da derivada primeira:
Comparando as equações e , chegaremos a:
Passo 3
Beleza, então chegou o momento de aplicar as duas últimas condições:
Encontrando então a segunda derivada sabendo já que através da primeira derivada (basta derivar de novo, néh):
Como ...
Agora aplicando a terceira condição, ou seja: ...
Para a terceira condição... precisamos calcular a terceira derivada:
SHOW! Multiplicando a equação por , e somando a equação , o termo contendo a exponencial desaparece:
Perceba que e não podem ser simultaneamente diferentes de , pois se não, quem tem que ser são os termos dos parênteses:
Perceba que a única solução para essas duas equações é se tanto o seno quanto o cosseno forem simultaneamente iguais a :
Isso pode acontecer? Não neh?! Não existe nenhuma valor de ângulo que ao mesmo tempo o seno e cosseno. Então ou devem ser iguais a . Quem devemos considerar?
Ora, sabemos que é igual a e é o termo da exponencial , essa exponencial explode quando vai para o infinito. Como é de se supor que a vibração de uma estrutura não exploda (isso seria um problema kkk), é de se esperar que seja , logo o que nos resta:
Pra essa equação ser e o não ser (se não não tem graça, pois todas as constantes ’s serão zero):
Dividindo todo mundo por cosseno...
Pra isso ser verdade, basta que o ângulo seja ou ...
Essa é a função que determina os autovalores pedidos. A autofunção então será...
Como só o seno sobrou sem a constante ser ...
Os dois primeiros ’s serão...