Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.9 - Ex. 14
Em cada um dos Problemas 14 e 15, verifique se o vetor dado é a solução geral do sistema homogêneo associado e depois resolva o sistema não homogêneo. Suponha que.
Passo 1
Vamos trabalhar apenas com aparte homogenia do sistema, vamos realmente calcular a parte homogenia do sistema e vamos ver oque acontece:
Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.
Determinado os autovalores e autovetores:
Para isto utilizaremos a seguinte relação:
Em que os autovalores serão as raízes do .
Determinando os autovalores:
Tendo as raízes:
Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando , temos:
Reduzindo o sistema para:
Para :
Vamos agora determinar o autovetor associado à segunda solução do sistema homogêneo. Colocando , temos:
Reduzindo o sistema para:
Para :
Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:
Certo provamos que o solução geral inicial é solução geral do nosso sistema.
Passo 2
Vamos trabalhar com a parte não homogenia agora, pois a solução geral fica.
Em que , e e também sabemos que é a nossa parte não homogenia do sistema.
Então para chegarmos em , vamos determinar a matriz fundamental, matriz fundamental inversa, efetua o produto com com a inversa e integrarmos e por final efetuarmos o produto de e a matriz fundamental.
E como temos que a matriz fundamental é regida por:
Matriz fundamental:
Determinando a inversa:
Podemos determinar :
Integrando:
Passo 3
Finalmente calculas ·, podemos partir para ultimo e final passo:
Portanto a solução geral do sistema fica: