Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.9 - Ex. 7

Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.

Passo 1

Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.

Determinado os autovalores e autovetores:

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

Em que os autovalores serão as raízes do .

Determinando os autovalores:

Tendo as raízes:

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando , temos:

Reduzindo o sistema para:

Para :

Vamos agora determinar o autovetor associado a segunda solução do sistema homogêneo. Colocando , temos:

Reduzindo o sistema para:

Para :

Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:

Passo 2

Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:

Primeiramente vamos escrever a matriz que é formada pelos autovetores associados matriz inicial, e calcularemos a inversa de .

Determinado a aí inversa de , invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:

Tendo , assumindo substituiremos na equação inicial:

Multiplicando toda equação por temos:

Resultando em:

Em que é matriz com diagonal principal formada pelos autovalores e .

Com isto enunciado podemos escrever a equação:

Executando o que acabamos de ilustrar:

Multiplicando toda equação por :

Passo 3

Possuímos um sistema que tem duas variáveis lineares independentes não homogêneas, e por isto podemos resolver pelo método da variação de constantes.

Temos que ’:

Tendo :

Resolvendo o sistema de equações por meio de variação de constante. Temos que determinar a solução do sistema homogêneo e assim teremos a do sistema não homogêneo, temos: