Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.9 - Ex. 8
Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
Passo 1
Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.
Determinado os autovalores e autovetores:
Para isto utilizaremos a seguinte relação:
Em que os autovalores serão as raízes do .
Determinando os autovalores:
Tendo as raízes:
Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando , temos:
Reduzindo o sistema para:
Para :
Temos eu encontrar outro autovetor, colocando , temos:
Reduzindo o sistema para:
Para :
Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:
Passo 2
Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:
Primeiramente vamos escrever a matriz que é formada pelos autovetores associados matriz inicial, e calcularemos a inversa de .
Determinado a aí inversa de , invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:
Tendo , assumindo substituiremos na equação inicial:
Multiplicando toda equação por temos:
Resultando em:
Em que é matriz com diagonal principal formada pelos autovalores e .
Com isto enunciado podemos escrever a equação:
Executando o que acabamos de ilustrar:
Multiplicando toda equação por :
Passo 3
Utilizando o método do coeficiente indeterminado, vamos usar desde que lado direito é relacionado a uma variável fundamental da solução.
Determinando .
Substituindo na nossa EDO, temos:
Escrevendo na forma escalar temos:
Resolvendo o sistema temos:
Tendo que , e substituindo , a equação se resumo a:
Combinando estas duas equações é necessário que , tendo resultado .
Portanto escolhendo , e , um constante arbitraria, a solução particular fica:
Desde que segundo vetor é um vetor fundamental para solução, portanto a solução geral pode ser escrita como: