Considere o problema de valor inicial

x ' =   A x   +   g ( t ) ,   x ( 0 )   =   x 0

(a) Depois de olhar o Problema 15(c) na Seção 7.7, mostre que

x = ϕ t x 0 + ∫ 0 t ϕ t - s g s   d s

b) Mostre, também, que

x = exp ⁡ A t x 0 + ∫ 0 t exp ⁡ A t - s g s   d s

Compare os resultados com os problemas 27 da seção 3.6.

Passo 1

a) assumindo t 0 = 0 na equação 34, temos:

x = Φ t x 0 + Φ t ∫ 0 t Φ - 1 s g s d s

x = Φ t x 0 + ∫ 0 t Φ t Φ - 1 s g s d s

Olhando no problema 15(c) na seção 7.7 é que:

Φ t Φ - 1 s = Φ t - s

Portanto:

x = Φ t x 0 + ∫ 0 t Φ - 1 s g s d s

Passo 2

b) A matriz fundamental é independente assim como Φ t = e A t .

Na seção 7.7, nós obtivemos que a exponencial e matriz fundamental são iguais, consequentemente, nós podemos substituir exp ⁡ A t me vez de a matriz fundamental, matriz Φ t . Isto prova o termo.

Resposta

a) x = Φ t x 0 + ∫ 0 t Φ - 1 s g s d s

b) A matriz fundamental é independente assim como Φ t = e A t .

Na seção 7.7, nós obtivemos que a exponencial e matriz fundamental são iguais, consequentemente, nós podemos substituir exp ⁡ A t me vez de a matriz fundamental, matriz Φ t . Isto prova o termo.

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