Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.1 - Ex. 15
Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais.
Passo 1
A equação característica, se tivermos uma EDO do tipo:
O objetivo é encontrar os autovalores e autofunções do problema de valor limite dado, temos o seguinte autovalor:
Nesse caso .
Com as condições de contorno e.
Entretanto, nós desconhecemos e não sabemos se o valor é maior ou menor que zero.
Passo 2
Vamos analisar o primeiro cenário, quando consideramos que . Então, nesse caso , então a equação passa a ser:
Corresponde a eiqação característica :
Nesse caso, as raízes da equação serão:
E a solução geral será :
Quando usamos as condições de contorno, obtemos:
Portanto, a solução geral é e, portanto, vemos que existem autovalores menores que zero.
Passo 3
O próximo passo, nós consideramos que , e a solução geral será:
Aplicando na primeira condição :
Agora, quando aplicamos a segunda condição de contorno .
Derivando a função temos:
Se .
Portanto, a solução geral é e, portanto, vemos que não há autovalores menores que zero.
Passo 4
Vamos analisar o primeiro cenário, quando consideramos que . Então, nesse caso , então a equação passa a ser:
Corresponde a eiqação característica.
E a solução geral será :
Agora, aplicamos a segunda condição .
A derivada da equação será:
Se:
Agora, aplicando a próxima condição de contorno :
Isso vai acontecer se :
A função cosseno zera quando:
Agora:
Portanto, podemos montar uma fórmula geral para zerar a função cosseno:
Para diversos valores de
Então, nossos autovalores serão , aplicando no valor que encontramos:
Quando e :