Em cada um dos problemas de 12 a 15 , use o método do Problema 11 para colocar a equação dada na forma [p(x) y']' + q(x) y = 0

x * y'' + (1 - x) * y' + λ * y = 0 (equação de Lagrange)

Passo 1

Pela equação diferencial dada nós temos que:

P x = x

Q x = ( 1 - x )

R x = λ

Então o termo multiplicador que deve ser incorporado para colocar na forma dada deve ser igual a:

μ x = 1 x e ∫ 0 x 1 - x x d x

Resolvendo essa integral temos que:

∫ 0 x 1 x - 1 d x = ln ⁡ x - x

Passo 2

Portanto:

μ x = 1 x e ln ⁡ x - x

Como e a - b = e a / e b então:

μ x = 1 x e ln ⁡ x e x = 1 x x e x = e - x

Passo 3

Então a equação de Laguerre pode ser escrita como:

x e - x y ' ' + e - x λ y = 0

Resposta

μ x = e - x

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Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dadoy'' + λy = 0, y'(0) = 0, y'(1) + y(1) = 0; veja a seção 11.1, problema 8 çã