Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 21c
Considere o problema de Sturm-Liouville
em que p, q e r satisfazem as condições enunciadas no texto.
Mostre que, se q(x) ≥ 0 e, se β1/β2 e – α1/α2 não forem negativos, então o autovalor λ será maior do que zero ou igual a zero; mostre que o autovalor λ é estritamente positivo, a menos que α1 = β1 = 0 e q(x) = 0 para todo x em 0 ≤ x ≤ 1.
Passo 1
Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para atribuirmos a definição do operador de Sturn-Liouville e testar a continuidade e positividade. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??
Passo 2
Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar a definição da teoria de Sturn-Liouville
Com isso, podemos aplicar a integral.
Resolvendo essas primeira parcela da integral através do método da integração por partes, temos:
Usando a condição de contorrno dada no enunciado, chegamos a
Passo 3
Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!
Como , temos que: