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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.1 - Ex. 20

Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais

x 2 y ″   -   x y '   +   λ y   =   0 ,     y ( 1 )   =   0 ,   y ( L )   =   0 ,   L   >   1

Passo 1

Nós temos que:

x 2 y ″   -   x y '   +   λ y   =   0

Com as condições:

y ( 1 )   =   0 ,   y ( L )   =   0 ,   L   >   1

Faremos suposições para simplificar o problema, para transformar nossa EDO:

t = ln ⁡ x

E:

y x = ∅ ln ⁡ x = ∅ ( t )

Derivando, teremos:

y ' x = 1 x d ∅ t d t  

Derivando novamente:

y ' ' x = 1 x 2 d 2 ∅ ( t ) d t 2 - d ∅ ( t ) d t  

Passo 2

Agora, podemos aplicar esses termos calculados na EDO:

x 2 y ″   -   x y '   +   λ y   =   0

x 2 1 x 2 d 2 ∅ ( t ) d t 2 - d ∅ ( t ) d t     -   x 1 x d ∅ t d t   +   λ ∅ ( t )   =   0

d 2 ∅ ( t ) d t 2 - d ∅ ( t ) d t     - d ∅ t d t   +   λ ∅ ( t )   =   0

d 2 ∅ ( t ) d t 2 - 2 d ∅ ( t ) d t +   λ ∅ ( t )   =   0

Aplicando na equação característica, teremos que:

0 = r 2 - 2 r + λ

Resolvendo a equação quadrática, teremos:

r = 2 ± 2 2 - 4 ( λ ) 2 = 1 ± 1 - λ

Passo 3

Aplicando nossos valores encontrados, na fórmula:

∅ t = c 1 e 1 + 1 - λ t + c 2 e 1 - 1 - λ t

Convertendo novamente em termos de y x = ∅ ln ⁡ x :

y ( x ) = c 1 e 1 + 1 - λ ln ⁡ x + c 2 e 1 - 1 - λ ln ⁡ x

Exapandindo os termos, teremos:

y x = c 1 e ln ⁡ x + c 1 e 1 - λ ln ⁡ x + c 2 e ln ⁡ x + c 2 e - 1 - λ ln ⁡ x

Empregando identidades de Euler e escolhendo apenas duas soluções linearmente independentes:

y x = c 3 e ln ⁡ x sen ⁡ ( 1 - λ ln ⁡ x ) + c 4 e ln ⁡ x cos ⁡ ( 1 - λ ln ⁡ x )

y x = c 3 x sen ⁡ ( 1 - λ ln ⁡ x ) + c 4 x cos ⁡ ( 1 - λ ln ⁡ x )

Passo 4

Aplicando nas condições de contorno dadas:

y 1 = 0 ; y L = 0 ; L > 1

Começando com y ( 1 ) :

y 1 = c 3 ( 1 ) sen ⁡ ( 1 - λ ln ⁡ 1 ) + c 4 ( 1 ) cos ⁡ ( 1 - λ ln ⁡ 1 )

y 1 = 0 = c 3 sin ⁡ 0 + c 4 cos ⁡ 0

Então:

c 4 = 0

Agora, podemos aplicar a outra condição y ( L ) :

y x = c 3 x sen ⁡ ( 1 - λ ln ⁡ x )

y L = 0 = c 3 L sen ⁡ ( 1 - λ ln ⁡ L )

A função seno zera em qualquer valor π , então zera em n π , isso vai acontecer se:

( 1 - λ ln ⁡ L ) = n π

n π ln ⁡ l = 1 - λ

n π ln ⁡ l 2 = 1 - λ

Dessa forma, nosso autovalor será dado por:

λ = 1 + n π ln ⁡ l 2

Aplicando na função:

y x = c 3 x sen ⁡ ( 1 - 1 + n π ln ⁡ l 2 ln ⁡ x )

Simplificando:

y x = c x sen ⁡ n π ln ⁡ l 2 ln ⁡ x )

Resposta

Autovalor:

λ = 1 + n π ln ⁡ l 2

Autofunção:

y x = c x sen ⁡ n π ln ⁡ l 2 ln ⁡ x )

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