Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.1 - Ex. 22
Considere uma barra metálica horizontal de comprimento L sujeita a uma carga vertical por unidade de comprimento. O deslocamento vertical resultante na barra satisfaz a equação diferencial
Em que é o módulo de Young e é o momento de inércia da seção reta em torno do eixo perpendicular ao plano xy passando pelo centroide. Suponha que é uma constante . Para cada uma das condições de contorno dadas a seguir, resolva para o deslocamento e faça o gráfico de y em função de x, no caso em que .
(a) Simplesmente apoiado nas duas extremidades: .
(b) Preso nas duas extremidades: .
(c) Preso em , livre em
Passo 1
Vamos começar trabalhando nas considerações dadas pela EDO:
Reorganizando:
Se , então:
Se a derivada é a , podemos ter termos quaisquer em :
Se:
Agora, podemos aplicar as condições de contorno de cada tópico.
Passo 2
(a) A primeira consideração se baseia no apoio das duas extremidades, quando:
Sendo uma extremidade:
Se é outra extremidade.
Dessa forma:
Aplicando :
Reduzindo :
Então:
A solução final será dada por:
Passo 3
(b ) Agora, a condição diz que estamos presos às duas extremidades:
Se:
Então podemos ter:
A próxima condição requer uma derivada:
Então:
Em termos de :
Modificando as equações encontradas:
Substituindo em (a):
Então, a solução final será :
Passo 4
(c ) Agora, a condição é estar preso em :
Se temos:
Então:
Se :
Tirando a segunda derivada:
Substituindo na segunda derivada:
A solução final será dada por:
Resposta
(a)
(b)
(c )