Em cada um dos problemas de 17 a 24 :

Encontre uma equação da forma H(x, y) = c para as trajetórias.

Pêndulo não amortecido: dx/dt = y, dy/dt = -sen x

Passo 1

Primeiro, devemos converter em uma EDO de primeira ordem e simplificar :

d x d t . d t d y = d y d x

Temos:

d y d t = - sen ⁡ x

E também:

d t d x = 1 y

Então:

d y d x = - sen ⁡ x y

Separando d x e d y :

y   d y = - sen ⁡ x   d x  

Integrando:

∫ y d y = ∫ - sen ⁡ x d x

y 2 2 + c = cos ⁡ x

Isolando:

c = y 2 2 - cos ⁡ x

Então:

H x , y = y 2 2 - cos ⁡ x

Resposta

H x , y = y 2 2 - cos ⁡ x

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