Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 2
Em cada um dos problemas de 1 a 14:
(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência.
(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e (a menos que a série termine antes).
(c) Calculando o wronskiano , mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções.
(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2.
Passo 1
(a) Fala galera!!
Nos foi dado a seguinte equação diferencial:
Queremos encontrar uma solução em forma de série de potências em torno de , e encontrar a relação de recorrência.
Uma equação diferencial pode ser escrita da seguinte maneira:
Se analisarmos a equação dada, podemos perceber que:
logo, todo ponto é um ponto ordinário.
Passo 2
Vamos supor que seja a seguinte série de potencia
e vamos supor que a série converge em algum intervalo . Também podemos diferenciar a equação acima. Assim, pelo que vimos na revisão de série, obtemos:
Diferenciando mais uma vez, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir os resultados encontrados e na equação diferencial fornecida, assim temos:
Para combinar as três séries, precisamos reescrever pelo menos uma delas de modo que ambas tenham o mesmo termo geral. Assim, mudamos o índice do somatório na primeira série substituindo por e começando a soma em em vez de . Assim temos:
Para a segunda série, podemos expandir o somatório da seguinte maneira:
Podemos dizer seguinte:
Voltando com o resultado para a equação diferencial, temos:
Agora podemos unir os somatórios.
Passo 4
Para que a equação acima seja satisfeita para todo , é preciso que o coeficiente de cada potência de seja nulo. Logo, podemos concluir que:
Escrevendo de uma maneira melhor, temos que a relação de recorrência se torna:
Passo 5
A equação acima é conhecida como uma relação de recorrência. Os coeficientes sucessivos podem ser calculados um a um escrevendo-se a relação de recorrência, primeiro para , depois para , e assim por diante. Fazendo isso, temos:
Para
Para
Para
Para
Para
Para
Para essa questão, a equação acima relaciona cada coeficiente com o que está dois antes dele. Assim, os coeficientes com índices pares e os com índices ímpares são determinados separadamente.
Esses resultados sugerem que, em geral, se , então:
e, em geral, se , então:
Passo 6
Agora, vamos substituir os coeficientes encontrados acima em . A série de potencia que foi sugerida como sendo solução da equação diferencial.
Temos então que a solução da equação diferencial sobre o ponto é
Passo 7
(b) Queremos encontrar os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções. Para isso basta substituir e em e .
Para a solução , temos:
Para a solução , temos:
Passo 8
(c) Agora, vamos calcular o wronskiano , afim de mostrar que e formam um conjunto fundamental de soluções. Lembre-se de que o Wronskiano das duas funções e é,
Temos que:
E sua derivada se torna:
No ponto , as condições podem ser tomadas como:
Temos também que:
E sua derivada se torna:
No ponto , as condições podem ser tomadas como:
Substituindo as funções temos:
Então
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções e são linearmente independentes. Portanto, e formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 9
(d) Queremos encontrar o termo geral em cada solução. Temos que as duas soluções da equação diferencial são:
Passo 10
Vamos agora encontre o termo geral da solução :
Portanto, o termo geral na solução é
Passo 11
Vamos agora encontre o termo geral da solução :
Portanto, o termo geral na solução é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)