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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 2

Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado

y ' ' + λ y = 0 ,       y ' 0 = 0 ,       y 1 = 0

Passo 1

Tal como na questão anterior a solução para essa E D O que tem autovalores complexos será:

y = c 1 s e n λ x + c 2 c o s ⁡ ( λ x )

E

y ' = λ c 1 cos ⁡ λ x - λ c 2 s e n λ x

Aplicando a primeira condição de contorno nós temos:

0 = c 1 s e n λ + c 2 cos ⁡ λ

E

0 = λ c 1

Essa última equação nos diz que c 1 = 0 , pois assumimos que λ não pode ser zero. Então pela primeira equação de contorno nós vemos que:

c 2 cos ⁡ λ = 0

Onde cos ⁡ λ = 0 e assim como na questão passada vemos que:

λ = 2 n - 1 π 2

Pois o cosseno só é zero em π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 e por aí vai.

Passo 2

E como nessa função c 2 não é nula então a autofunção será:

ϕ n = k n cos ⁡ λ x

Então para acharmos k n nós devemos saber que a autofunção é normalizada então tem peso de 1 e então realizar a integral.

∫ 0 1 ϕ n 2   d x = 1

Logo:

k n 2 ∫ 0 1 cos 2 ⁡ λ x d x

Onde cos 2 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 x 2

Logo:

k n 2 ∫ 0 1 1 2 + cos ⁡ 2 λ x 2 d x

k n 2 x 2 + sin ⁡ 2 λ x 4 λ 0 1 = 1

Só que sin ⁡ 2 n - 1 π 2 será zero para qualquer n inteiro, então o valor de k n será:

k n 2 2 = 1

k n = 2

Nos deixando com a autofunção normalizada igual a:

ϕ n = 2 cos ⁡ λ x

Onde λ = 2 n - 1 π 2     para n = 1,2 , …  

Suprimimos o caso de λ = 0 pois nesse caso dado e pelos valores de contornos dados ele não será um autovalor válido, mas ele deve ser considerado no começo das contas.

Resposta

ϕ n = 2 cos ⁡ λ x

Onde λ = 2 n - 1 π 2     para n = 1,2 , …  

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