Em cada um dos problemas de 1 a 14:

(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência.

(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e (a menos que a série termine antes).

(c) Calculando o wronskiano , mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções.

(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.

7.

Vamos supor que seja a seguinte série de potencia

e vamos supor que a série converge em algum intervalo . Também podemos diferenciar a equação acima. Assim, pelo que vimos na revisão de série, obtemos:

Diferenciando mais uma vez, temos:

Agora, vamos substituir os resultados encontrados e na equação diferencial fornecida, assim temos:

Podemos multiplicar pela segunda da seguinte maneira:

Para combinar as quatro séries, precisamos reescrever elas de modo que ambas tenham o mesmo termo geral . Assim, mudamos o índice do somatório na primeira série substituindo por e começando a soma em em vez de . Assim temos:

O segundo somatório está de 1 enquanto os outros dois começam de 0

Podemos abrir o segundo somatório da seguinte maneira:

Podemos dizer que:

Ou seja:

Substituindo na equação encontrada no final do passo 3, temos:

Só podemos juntar os somatórios se eles começarem do mesmo número. Assim, podemos unir os somatórios da seguinte forma:

Para que a equação acima seja satisfeita para todo , é preciso que o coeficiente de cada potência de seja nulo. Logo, podemos concluir que:

Escrevendo de uma maneira melhor, temos que a relação de recorrência se torna:

A equação acima é conhecida como uma relação de recorrência. Os coeficientes sucessivos podem ser calculados um a um escrevendo-se a relação de recorrência, primeiro para , depois para , e assim por diante. Fazendo isso, temos:

Para

Para

Para

Para

Para

Para

Para

Para

Para essa questão, a equação acima relaciona cada coeficiente com o que está dois antes dele. Assim, os coeficientes com índices pares e os com índices ímpares são determinados separadamente.

Esses resultados sugerem que, em geral, se , então:

e, em geral, se , então:

Agora, vamos substituir os coeficientes encontrados acima em . A série de potencia que foi sugerida como sendo solução da equação diferencial.

Temos então que a solução da equação diferencial sobre o ponto  é:

Aqui  e são constantes arbitrárias.

(b) Temos que os primeiros quatros termos em cada uma das duas soluções são:

Para a solução , temos:

Para a solução , temos:

(c) Agora, vamos calcular o wronskiano , afim de mostrar que e formam um conjunto fundamental de soluções. Lembre-se de que o Wronskiano das duas funções e é,

Temos que:

E sua derivada se torna:

No ponto , as condições podem ser tomadas como:

Temos também que:

E sua derivada se torna:

No ponto , as condições podem ser tomadas como:

Substituindo as funções temos:

Então

Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções  e são linearmente independentes. Portanto,  e formam um conjunto fundamental de soluções.

(d) Queremos encontrar o termo geral em cada solução. Temos que as duas soluções da equação diferencial são:

Vamos agora encontre o termo geral da solução :

Portanto, o termo geral na solução é 

Vamos agora encontre o termo geral da solução :

Portanto, o termo geral na solução é