Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 17
Em cada um dos problemas de 15 a 18, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando .
Passo 1
Encontrando os autovalores da matriz desse sistema nós teremos:
Resolvendo essa determinante nós teremos:
O que nos dá uma equação característica igual a:
E cujas raízes serão:
É só uma coincidência que sejam os valores que zerem os elementos da diagonal principal.
Passo 2
Encontrando o autovetor para o autovalor nós teremos:
Pela segunda e primeira linha nós teremos uma relação igual a:
E uma solução para essa equação será:
E pela terceira linha nós teremos a seguinte relação:
E substituindo os valores que conhecemos nós temos:
Então o autovetor que está junto ao autovalor de será:
Nos dando uma solução igual a:
Passo 3
Agora vamos descobrir o autovetor para
Pela segunda linha nós temos que:
E isso nos dá uma relação (de acordo com a primeira e terceira linha) igual a:
Cuja solução para esse sistema será
Então o autovalor será:
Logo a solução dedicada a esse autovalor será:
Passo 4
Agora para nós temos o seguinte autovetor:
Pela terceira linha nós podemos dizer que:
Então uma solução para essa equação será
E pela segunda linha então nós temos:
E como então , o que nos dá um autovetor igual a:
Então a solução dada por esse autovetor será:
Logo a solução geral será igual a:
Passo 5
Agora se aplicarmos a condição inicial em nós teremos:
Da segunda equação podemos tirar que:
Aplicando esse resultado na primeira equação nós teremos:
Então pela terceira equação teremos:
Logo pela primeira equação teremos que:
Nos dando então uma solução geral igual a:
Ou: