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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 12

Em cada um dos Problemas 11 e 12:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

(b) Desenhe a trajetória correspondente no espaço x 1 x 2 x 3 e desenhe, também, o gráfico de x 1 em função de t .

12.

X ' = - 5 2 1 1 1 - 5 2 1 1 1 - 5 2 X ,             X 0 = 2 3 - 1

Passo 1

L e t r a   A :

Bem, queremos aqui resolver um sistema 3x3. Basicamente a forma de resolução é a mesma dos sistemas 2x2, porém com um cálculo mais chatinho! Mas não se preocupe que vamos destrinchar juntos esses cálculos! Bora?

Primeira coisa é montar a matriz dos coeficientes A baseado no sistema:

A = - 5 2 1 1 1 - 5 2 1 1 1 - 5 2

Agora devemos buscar os autovalores dela!

Passo 2

AUTOVALORES:

Os autovalores λ de uma matriz são do tipo:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair λ na diagonal principal da matriz A , veja:

det ⁡ - 5 2 - λ 1 1 1 - 5 2 - λ 1 1 1 - 5 2 - λ = 0

O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?

Então, se a solução dessa equação é um desses 3 valores aqui:

λ 1 = - 7 2 ;         λ 2 = - 7 2           e             λ 3 = - 1 2

O conjunto de soluções fundamentais x k para cada um deles vão ser:

  • Para o λ 1 que é real e o primeiro a ser analisado...

    • x 1 = v 1 e λ 1 t

  • Para λ 2 que é real e o segundo a ser analisado...

    • x 2 = v 1 t e λ 1 t + v 2 e λ 2 t

  • Para o λ 3 que é real e único:

x 3 = v 3 e λ 3 t

Onde v 1 , v 2 e v 3 são os autovetores determinados por:

A - λ 1 I v 1 = 0

A - λ 2 I v 2 = v 1

A - λ 3 I v 3 = 0

Partiu calcular esses autovetores agora?

Passo 3

AUTOVETOR 1:

A - λ 1 I v 1 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

a b c

Onde a , b e c são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

A - λ 1 I a b c = 0

Lembre-se de que menos λ I nada mais é do que subtrair λ da diagonal principal:

- 5 2 - λ 1 1 1 - 5 2 - λ 1 1 1 - 5 2 - λ a b c = 0

Como λ 1 = - 7 2 ...

1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

a + b + c = 0 a + b + c = 0 a + b + c = 0

Das uma dessas equações...

a + b + c = 0

a = - b - c

v = - b - c b c = - 1 1 0 b + - 1 0 1 c

Daqui então podemos tirar os dois autovetores de v :

v 1 = - 1 1 0         e             v 2 = - 1 0 1

Como aqui já encontramos dois autovetores LI, não há necessidade de usar a fórmula:

A - λ 2 I v 2 = v 1

Para encontra v 2 , afinal ele já está encontrado, saca?

Passo 4

AUTOVETOR 3:

A - λ 3 I v 3 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

a b c

Novamente teremos...

A - λ 3 I a b c = 0 0 0

Lembre-se de que menos λ I nada mais é do que subtrair λ da diagonal principal:

- 5 2 - λ 1 1 1 - 5 2 - λ 1 1 1 - 5 2 - λ a b c = 0 0 0

Como λ 3 = - 1 2 ...

- 2 1 1 1 - 2 1 1 1 - 2 a b c = 0 0 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

- 2 a + b + c = 0 a - 2 b + c = 0 a + b - 2 c = 0

Da primeira e da segunda equação...

- 3 b + 3 c = 0   →  

b = c  

Da terceira...

a + b - 2 c = 0     →             a - c = 0   →

a = c

Como o c está livre pra ser quem ele quiser (de menos o 0 ) se escolhermos c = 1 esse autovalor é:

v 2 = 1 1 1

Passo 5

Logo, as três soluções fundamentais serão:

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 1 t e λ 1 t + v 2 e λ 2 t

x 3 = v 3 e λ 3 t

Substituindo...

x 1 = - 1 1 0 e - 7 2 t

x 2 = - 1 1 0 t e - 7 2 t + - 1 0 1 e - 7 2 t

x 3 = 1 1 1 e - 1 2 t

A solução final é então dada pela expressão:

x y z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3   →

x y z = c 1 - 1 1 0 e - 7 2 t + c 2 - 1 1 0 t e - 7 2 t + c 2 - 1 0 1 e - 7 2 t + c 3 1 1 1 e - 1 2 t  

Ou ainda em notação de chaves, a solução será...

x = - c 1 e - 7 2 t - c 2 t e - 7 2 t - c 2 e - 7 2 t + c 3 e - 1 2 t y = c 1 e - 7 2 t + c 2 t e - 7 2 t + c 3 e - 1 2 t z = c 2 e - 7 2 t + c 3 e - 1 2 t

Passo 6

Com a solução em mãos, podemos partir para a busca da solução particular usando a informação de valor inicial:

X 0 = 2 3 - 1

Desse vetor, tiramos que...

x 0 = 2

y 0 = 3

z 0 = - 1

Substituindo então o t por 0 na nossa solução...

x = - c 1 e - 7 2 t - c 2 t e - 7 2 t - c 2 e - 7 2 t + c 3 e - 1 2 t y = c 1 e - 7 2 t + c 2 t e - 7 2 t + c 3 e - 1 2 t z = c 2 e - 7 2 t + c 3 e - 1 2 t   →

x 0 = - c 1 e 0 - c 2 0 e 0 - c 2 e 0 + c 3 e 0 y 0 = c 1 e 0 + c 2 0 e 0 + c 3 e 0 z 0 = c 2 e 0 + c 3 e 0     →

2 = - c 1 - c 2 + c 3 3 = c 1 + c 3 - 1 = c 2 + c 3     →

Desse sistema, tiramos das duas primeiras equações que...

5 = 2 c 3 - c 2

Somando com a terceira...

4 = 3 c 3     →

c 3 = 4 3

Usando esses valores na última equação...

- 1 = c 2 + c 3   →

c 2 = - 1 - 4 3     →

c 2 = - 7 3

Já sobre c 1 ...

3 = c 1 + c 3     →

c 1 = 3 - 4 3         →

c 1 = 5 3

Logo, as nossas soluções usando essas constantes...

x = - 5 3 e - 7 2 t + 7 3 t e - 7 2 t + 7 3 e - 7 2 t + 4 3 e - 1 2 t y = 5 3 e - 7 2 t - 7 3 t e - 7 2 t + 4 3 e - 1 2 t z = - 7 3 e - 7 2 t + 4 3 e - 1 2 t   →

x = 2 3 e - 7 2 t + 7 3 t e - 7 2 t + 4 3 e - 1 2 t y = 5 3 e - 7 2 t - 7 3 t e - 7 2 t + 4 3 e - 1 2 t z = - 7 3 e - 7 2 t + 4 3 e - 1 2 t  

Passo 7

L e t r a   B :

Usando algum aplicativo de plotagem de gráficos (por exemplo, o winplot), podemos plotar o gráfico de y × x × z implicitamente em funções de t :

E para o gráfico de x em função de t ...

Resposta

Letra A:

x = 2 3 e - 7 2 t + 7 3 t e - 7 2 t + 4 3 e - 1 2 t y = 5 3 e - 7 2 t - 7 3 t e - 7 2 t + 4 3 e - 1 2 t z = - 7 3 e - 7 2 t + 4 3 e - 1 2 t  

Letra B:

Ver Outros Exercícios desse livro

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