Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

A = 3 - 2 4 - 1

Passo 1

O cálculo de Autovalores pode ser dado por:

det ⁡ ( A - λ I )

det ⁡ 3 - 2 4 - 1 - λ 1 0 0 1

= 3 - λ - 1 - λ + 8 = 0

λ 2 - 2 λ + 5 = 0

Resolvendo a equação quadrática por Bhaskara:

λ 1 = 2 + 4 i 2 = 1 + 2 i

λ 2 = 2 - 4 i 2 = 1 - 2 i

Passo 2

Podemos calcular o Autovetor quando λ = 1 + 2 i :

A - λ I = 0

2 - 2 i - 2 4 - 2 - 2 i 0 0

( 2 - 2 i ) x 1 - 2 x 2 = 0

( 1 - i ) x 1 = x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 ( 1 - i ) x 1 = x 1 1 - i

Para λ = 1 + 2 i o autovetor é 1 1 - i .

Passo 3

Podemos calcular o Autovetor quando λ = 1 - 2 i :

A - λ I = 0

2 + 2 i - 2 4 2 + 2 i 0 0

( 2 + 2 i ) x 1 - 2 x 2 = 0

( 1 + i ) x 1 = x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 ( 1 + i ) x 1 = x 1 1 + i

Para λ = 1 - 2 i o autovetor é 1 1 + i .

Resposta

Para λ = 1 + 2 i o autovetor é 1 1 - i .

Para λ = 1 - 2 i o autovetor é 1 1 + i .

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