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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 17

Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

A = 3 - 2 4 - 1

Passo 1

O cálculo de Autovalores pode ser dado por:

det ⁡ ( A - λ I )

det ⁡ 3 - 2 4 - 1 - λ 1 0 0 1

= 3 - λ - 1 - λ + 8 = 0

λ 2 - 2 λ + 5 = 0

Resolvendo a equação quadrática por Bhaskara:

λ 1 = 2 + 4 i 2 = 1 + 2 i

λ 2 = 2 - 4 i 2 = 1 - 2 i

Passo 2

Podemos calcular o Autovetor quando λ = 1 + 2 i :

A - λ I = 0

2 - 2 i - 2 4 - 2 - 2 i 0 0

( 2 - 2 i ) x 1 - 2 x 2 = 0

( 1 - i ) x 1 = x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 ( 1 - i ) x 1 = x 1 1 - i

Para λ = 1 + 2 i o autovetor é 1 1 - i .

Passo 3

Podemos calcular o Autovetor quando λ = 1 - 2 i :

A - λ I = 0

2 + 2 i - 2 4 2 + 2 i 0 0

( 2 + 2 i ) x 1 - 2 x 2 = 0

( 1 + i ) x 1 = x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 ( 1 + i ) x 1 = x 1 1 + i

Para λ = 1 - 2 i o autovetor é 1 1 + i .

Resposta

Para λ = 1 + 2 i o autovetor é 1 1 - i .

Para λ = 1 - 2 i o autovetor é 1 1 + i .

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Suponha que, para uma matriz dada A ,existe um vetor não nulo x tal que A x=0 . Mostre que existe, também, um vetor não nulo y tal que A * y=0 .
Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. A = 1 0 0 2 1 - 2 3 2 1
Vamosmostrar, nesse problema, que os autovalores de uma matriz autoadjunta A sãoreais. Seja x um autovetor associado ao autovalor λ. (a) Mostre que ( A x ,x )=( x ,A x ) . Sugestão: Veja o Problema 26
Prove que λ=0 será um autovalor de A se, e somente se, A for singular.
Mostreque, se λ 1 eλ 2 são autovalores de uma matriz A qualquer e se λ 1 ≠ λ 2 , então os autovetores correspondentes x 1 e x 2 são linearmente independentes. Sugestão: Comece com c 1 x ( 1 ) + c 2 x