Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; é um inteiro positivo e é uma constante real.

18.

Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar o método de integração por partes:

Vamos chamar de e de , ficamos com:

Para resolver a integral que apareceu, vamos usar de novo a integração por partes, várias vezes, fazendo sempre o polinômio em ser o e a exponencial ser , a integral resulta em, depois de aplicarmos os limites para cada integração por partes (lembrando que os limites inferiores sempre vão zerar):

Dá para ver que fica um polinômio em relação a multiplicado pela exponencial e mais um termo que não depende de :

Para que a parte exponencial tenda a zero e não exploda no infinito quando , precisamos que:

Então para um polinômio de grau , o produto entre ele e a exponencial que tende para zero, vai tender para zero (a demonstração disso é trabalhosa, vamos assumir que isso seja verdadeiro):

Sobra o seguinte:

E essa vai ser nossa transformada