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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 23

Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.

t 2 y ' ' - 4 t y ' + 6 y = 0 ,     t > 0 ;                 y 1 t = t 2

Passo 1

Oiiii...

Vamos entender o que temos que fazer primeiro certo? O problema pede para encontrar a segunda solução do problema, e ele nos dá a primeira solução que é y 1 t = t 2 .

Ok, a ideia aqui vai ser é multiplicar essa solução por uma função que no caso vai ser v(t), note que ela está fazendo o papel de uma constante, e então se a gente tiver uma constante multiplicando uma solução ela também vai ser uma solução. Uau, que descoberta!!!

Passo 2

Agora mão na massa. Agora vamos usar o nosso produtinho e achar suas derivadas.

y t = t 2 . v ( t )

Usando a regra do produto vamos ter:

y ' = 2 t v + t 2 v '

y ' ' = 2 v + 2 t v ' + 2 t v ' + t 2 v ' '

= t 2 v ' ' + 4 t v ' + 2 v

Passo 3

Achamos as derivadas. Agora vamos substituir na EDO.

t 2 t 2 v ' ' + 4 y ' + 2 v - 4 t 2 t v + t 2 v ' + 6 t 2 v

Fazendo a distributiva fica:

t 4 v ' ' + 4 t 3 v ' + 2 t 2 v - 8 t 2 v - 4 t 3 v ' + 6 t 2 v = 0

t 4 v ' ' + 4 t 3 v ' - 4 t 3 v ' - 8 t 2 v + 8 t 2 v = 0

Agora pegue sua tesoura pra gente cortar esses termos simétricos.

t 4 v ' ' = 0

Só sobrou esse termo. Agora que vem o pulo do gato. A gente vai substituir o v ' ' por w ' . E vai ficar:

t 4 w ' = 0

Tcharam!!! Agora é uma EDO de primeira ordem, pois a maior derivada dela é ordem um. Por isso o nome redução de ordem.

Passo 4

Agora a missão é achar o valor de w . Perceba que é uma EDO a variáveis separáveis. Vamos usar a relação w ' = v ' ' , então w = v '

t 4 w = 0

w = 0 t 4

w = 0

w = c

Se w = v ' = c , a gente integra v ' , pra achar o valor de v .

v = ∫ c   d t = t

Finalmente achamos o valor de v . Agora vamos substituir no nosso produtinho pra achar a segunda solução.

y t = t 2 . v t

y 2 = t 2 . t

y 2 = t 3

Conseguimos!!! \o/

Resposta

y 2 = t 3

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