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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 32

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

32.

x y ″   +   y '   +   ( c o t   x ) y   =   0    

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

x y ″   +   y '   +   ( c o t   x ) y   =   0    

Nossa função P é

P x = x

Com isso nosso ponto singular é

x =   0

Passo 3

Vamos descobrir a regularidade desse ponto agora

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 0 ⁡ x 1 x

= 1

Show esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P  

lim x → 0 ⁡ x 2 c o t   x x    

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x  

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x  

Temos uma indeterminação aqui, vamos precisar usar L’Hopital para resolver

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x       → L ' H       lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x    

= 1

SHOW!!! OS dois limites existem, logo o ponto x = 0 é regular

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Nosso ponto singular é

x =   0 → Regular

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