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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 34

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

34.

( x   s e n   x ) y ″   +   3 y '   +   x y   =   0  

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

( x   s e n   x ) y ″   +   3 y '   +   x y   =   0  

Nossa função P é

P x = x sen ⁡ x

Com isso nossos pontos singulares são

x =   n π

Onde   n ∈ I - 0 . E também

x = 0

Passo 3

Vamos descobrir a regularidade do ponto x = n π agora

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → nπ ⁡ x - n π 3 x sen ⁡ x

Temos uma indeterminação aqui, vamos precisar usar L’Hopital para resolver

lim x → nπ ⁡ x - n π 3 x sen ⁡ x     → L ' H     3   lim x → nπ ⁡ 1 x cos ⁡ x + sen ⁡ x

= 3 n π

Show esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P  

lim x → nπ ⁡ x - n π 2 x x sen ⁡ x    

lim x → nπ ⁡ x - n π 2 1 sen ⁡ x    

Temos uma indeterminação aqui, vamos precisar usar L’Hopital para resolver

lim x → nπ ⁡ x - n π 2 1 sen ⁡ x       → L ' H       lim x → nπ ⁡ 2 x - n π cos ⁡ x

= 0

SHOW!!! OS dois limites existem, logo o ponto x = n π é regular. Pela analise no limite que fizemos acima podemos dizer a regularidade de x = 0 , afinal como no primeiro limite obtemos

lim x → nπ ⁡ x - n π 3 x sen ⁡ x =   3 n π

Se n = 0 → x = 0 , e esse limite explode para infinito, Logo x = 0   é Irregular.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Nosso ponto singular é

x =   n π → Regular

Onde   n ∈ I - 0 .   E

x = 0 → Irregular

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.4. y ' ' ' + t y ' ' + t 2 y ' + t 3 y = ln ⁡ t