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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 36

36. Encontre todos os valores de β para os quais todas as soluções de

x 2 y ″   +   β y   =   0

tendem a zero quando x → 0.

Passo 1

Oii vamos começar mais uma solução. Essa função tem o seguinte formato

P x y " + Q ( x ) y ' + R ( x ) y   =   0

Beleza!!! O que faremos agora é supor que a solução do nosso problema é

y = x r

E com isso substituir na nossa equação

y ' = r x r - 1

y "   =   r ( r - 1 ) x r - 2    

Passo 2

Vamos jogar dentro da nossa equação e ver o resultado disso

x 2 y ″   +   β y   =   0

x 2 r ( r - 1 ) x r - 2 + β x r = 0

A sagacidade está em perceber que nossa função y " está sendo multiplicada por x 2 , logo podemos ajustar os expoentes e deixar tudo com a seguinte cara

r ( r - 1 ) x r + β x r = 0

x r r r - 1 + β = 0

Logo ou nossa função x r = 0 e assim temos a solução trivial, ou temos a seguinte equação solução

r r - 1 + β = 0

r 2 - r + β = 0

Fazendo bhaskara descobrimos que as soluções dessa equação são

r = 1 ± 1 - 4 β 2

Passo 3

Aqui vem o truque de mestre. Afinal nossa solução tem o seguinte formato

y = c 1 x r 1 + c 2 x r 2  

E o enunciado quer que y = 0 → x = 0 e isso só vai acontecer se o expoente de x for diferente de zero. Afinal

x 0 = 1

Assim jamais y   seria 0 . Precisamos então encontrar os valores de α para que

r ≠ 0

r = 1 ± 1 - 4 β 2 ≠ 0

Com isso em mente podemos fazer

1 ± 1 - 4 β ≠ 0

1 2 ≠ ∓ 1 - 4 β 2

1 ≠ 1 - 4 β

β ≠ 0

Show! Conseguimos achar uma restrição a β agora, temos que analisar outra coisa: β está dentro de uma raiz, logo temos que nos preocupar também com os valores aceitáveis para que a raiz sempre fique positiva.

1 - 4 β > 0

1 4 > β

Com isso podemos dizer que o intervalo de β é

β ∈ R   - ∞ , 0 ∪ 0   , 1 4 }    

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

β ∈ R   - ∞ , 0 ∪ 0   , 1 4 }  

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