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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 21

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

21.

1   –   x 2 2 y ″   +   x ( 1   –   x ) y '   +   ( 1   +   x ) y   =   0

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

1   –   x 2 2 y ″   +   x ( 1   –   x ) y '   +   ( 1   +   x ) y   =   0

Nossa função P é

P x =   1   –   x 2 2

Com isso nossos pontos singulares são

x =   ± 1

Passo 3

Vamos descobrir a regularidade desses pontos agora, começando por x = 1  

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 1 ⁡ x - 1 x ( 1   –   x ) 1   –   x 2 2

lim x → 1 ⁡ x - 1 x ( 1   –   x ) ( 1 - x ) ( 1 + x ) 2

lim x → 1 ⁡ - x ( 1 + x ) 2

=   - 1 4

Beleza esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 ( 1   +   x ) 1   –   x 2 2

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 ( 1   +   x ) ( 1 - x ) ( 1 + x ) 2

lim x → 1 ⁡ ( 1   +   x ) ( - 1 ) ( 1 + x ) 2

= 1 4

Show ! Os dois limites existem, logo o ponto x = 1   é regular. Precisamos testar agora   x =   - 1

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P

lim x → - 1 ⁡ x + 1 2 ( 1   +   x ) 1   –   x 2 2

lim x → - 1 ⁡ 1   +   x 3 ( 1 - x ) ( 1 + x ) 2

lim x → - 1 ⁡ 1   +   x ( 1 - x ) 2

= 0

Beleza esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → - 1 ⁡ x + 1 x ( 1   –   x ) 1   –   x 2 2

lim x → - 1 ⁡ x + 1 x ( 1   –   x ) ( 1 - x ) ( 1 + x ) 2

- 1 ⋅ lim x → - 1 ⁡ 1 ( 1 - x ) ( 1 + x )

=   - ∞

Esse limite explodiu para infinito, logo esse ponto é Irregular. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Os pontos singulares são

x = 1 → Regular

E

x = - 1 → Iregular

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Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.17. x y ″+( 1–x ) y '+x y=0
Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.30. x 2 y ″+2 ( e x-1 ) y '+( e - xc o sx ) y=0
Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.32. x y ″+y '+( c o tx ) y=0
Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.33. ( s e nx ) y ″+x y '+4 y=0
Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.34. ( xs e nx ) y ″+3 y '+x y=0