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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 24

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

24.

x 1   –   x 2 3 y ″   +   1   –   x 2 2 y '   +   2 ( 1   +   x ) y   =   0  

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

x 1   –   x 2 3 y ″   +   1   –   x 2 2 y '   +   2 ( 1   +   x ) y   =   0  

Nossa função P é

P x =   x 1   –   x 2 3

Com isso nossos pontos singulares são

x =   0

E

x =   ± 1

Passo 3

Vamos descobrir a regularidade desses pontos agora, começando por   x = 0

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 0 ⁡ x 1   –   x 2 2 x 1   –   x 2 3

= 1

Beleza esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P

lim x → 0 ⁡ x 2   2 ( 1   +   x ) x 1   –   x 2 3

= 0

Show ! Os dois limites existem, logo o ponto x = 0   é regular. Vamos testar os outros dois pontos agora.

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 1 ⁡ x - 1 1   –   x 2 2 x 1   –   x 2 3

lim x → 1 ⁡ x - 1 1 1 - x 1 + x

= - 1 2

Beleza esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P

lim x → 1 ⁡ x - 1 2   2 ( 1   +   x ) x 1   –   x 2 3

2 lim x → 1 ⁡ x - 1 2   ( 1   +   x ) [ 1 - x 1 + x ] 3

2 lim x → 1 ⁡ x - 1 2 1 [ x - 1 ( - 1 ) ] 3 1 + x 2

2 lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 ( - 1 ) 1 + x 2

= - ∞

Esse limite divergiu, esse ponto é Irregular! Vamos conferir agora   x = - 1

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → - 1 ⁡ x + 1 1   –   x 2 2 x 1   –   x 2 3

lim x → - 1 ⁡ x + 1 1 - 1 1 + x 1 - x

= 1 2

Beleza esse limite existe, vamos precisar fazer mais um teste

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P

lim x → - 1 ⁡ x + 1 2   2 ( 1   +   x ) x 1   –   x 2 3

lim x → - 1 ⁡   2 1   +   x 3 x 1 + x 1 - x 3

lim x → - 1 ⁡   2 x 1 - x 3

=   - 1 4

Show ! Os dois limites existem, logo o ponto x = - 1   é regular.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Nossos pontos singulares são

x =   0 → Regular

E

x =   1   → Irregular

E

x =   - 1 → Regular

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