Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 11
Em cada um dos problemas de 5 a 18:
(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.
(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.
(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?
(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.
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Passo 1
Primeiro devemos encontrar os pontos crítico desse sistema de EDO:
Ponto crítico acontece quando a derivada é , ou seja:
Um ponto que a gente já consegue ver que é ponto crítico é o e , pois:
Mas esse não é o único ponto crítico! Se você jogar esse sistema no WolframAlpha (já que podemos utilizar o computador nessa tarefa) e apertar Enter (batsta copiar
do jeito que está aí no WolframAlpha). Ele vai ter também como resultado, o ponto:
Que é também ponto crítico desse sistema, saca?
Resumindo: temos dois pontos críticos:
Passo 2
A primeira coisa para determinar um sistema linear próximo a um ponto crítico é pegar a o sistema que estamos trabalhando:
E chamar...
Agora, dessas duas funções aí, e , devemos extrair a matriz Jacobiana dada por:
Calculando essas derivadas parciais então...
Beleza! Agora temos que substituir os nossos pontos críticos. Como são dois, vou fazer isso em dois passos extras, ok?
Passo 3
Primero o do ponto , isto é:
De acordo com a teoria, o sistema de EDO linear que aproxima a não linear nesse caso é:
Onde é o e o .
Passo 4
Agora vamos fazer o mesmo para o ponto :
Então, o sistema linear de aproximação nesse caso é:
Passo 5
Novamente, como temos dois pontos, teremos aqui que separar o cálculo para esses dois casos. Vamos começar descobrindo os autovalores associados a matriz do primeiro ponto crítico que achamos:
Aqui é tranquilo, podemos encontrar esses valores de na mão resolvendo esse determinante:
Observando a tabela 9.3.1 do nosso querido Boyce, concluímos que o sistema não linear, pelo menos próximo a ao ponto crítico é Instável!
Passo 6
Para o segundo caso, onde temos essa matriz de coeficientes aqui:
O buraco é mais em baixo! Não é simples resolver isso na mão, então novamente vamos usar a ajuda do WolframAlpha para resolver esse determinante:
No WolframAlpha, o que define autovalor é a palavra eigenvalue, obtendo:
Como é negativo e temos um número complexo, ao redor desse ponto crítico então, temos uma estabilidade assintótica e a curva tem um formato de espiral.
Passo 7
Nesse caso, para desenhar o retrato de fase da nossa EDO, também usaremos o WolframAlpha simplesmente copiando a equação
E apertando Enter. Gerando esse retrato de fase aqui:
Repare que de fato próximo do e temos uma instabilidade e as curvas são elípticas, enquanto que próximo ao outro ponto crítico...
Temos uma estabilidade tipo espiral!
Resposta
Letra A:
Letra B:
Letra C:
Letra D:
