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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.8 - Ex. 3a

3. A. Encontre a solução u x ,   y da equação de Laplace no retângulo 0 < x < a , 0 < y < b , que satisfaz as condições de contorno

u 0 ,   y = 0 ,         u a ,   y = f y ,             0 < y < b ,

u x , 0 = h x ,         u x ,   b = 0 ,             0 ≤ x ≤ a .

Sugestão: Considere a possibilidade de somar as soluções de dois problemas, um com condições de contorno homogêneas, exceto por u a ,   y = f y , e o outro com condições de contorno homogêneas, exceto por u x ,   0 = h x .

B. Encontre a solução se h x = x a 2 e f y = 1 - y / b .

Passo 1

L e t r a   A :

Vamos separar aqui dois problemas: um em w e outro em v de modo que os dois satisfaçam a equação de Laplace:

w x x + w y y = 0

E

v x x + v y y = 0

A diferença dois problema é que o primeiro, em w , terá as condições iniciais seguintes:

w 0 ,   y = 0 ,         w a ,   y = f y ,             0 < y < b ,

w x , 0 = 0 ,         w x ,   b = 0 ,             0 ≤ x ≤ a .

Já o problema de v terá as seguintes condições:

v 0 ,   y = 0 ,         v a ,   y = 0 ,             0 < y < b ,

v x , 0 = h x ,         v x ,   b = 0 ,             0 ≤ x ≤ a .

Poxa! A soma da solução desses dois problemas será justamente a solução do problema u :

u = w + v

Passo 2

Na questão 2 encontramos a solução do problema v :

v x , y = ∑ n = 1 ∞ b n - s e n h n π b a cosh ⁡ n π b a cosh ⁡ n π y a + s e n h n π y a s e n   h n π y a  

Onde

b n = - 2 cosh ⁡ n π b a a   s e n h n π b a ∫ 0 a h x s e n   n π x a d x

Já no problema exemplar 1 deste capítulo, encontramos a solução do problema w :

w x , t = ∑ n = 1 ∞ c n senh ⁡ n π x b sen ⁡ n π y b  

Dessa forma, encontramos os coeficientes b n da série:

c n = 2 b senh ⁡ n π a b ∫ 0 b f y sen ⁡ n π y b d y

Então a solução do problema u será:

u = v x ,   y + w x ,   y

Resposta

u = v x ,   y + w x ,   y

Onde

v x , y = ∑ n = 1 ∞ b n - s e n h n π b a cosh ⁡ n π b a cosh ⁡ n π y a + s e n h n π y a s e n   h n π y a  

w x , t = ∑ n = 1 ∞ c n senh ⁡ n π x b sen ⁡ n π y b  

Onde...

b n = - 2 cosh ⁡ n π b a a   s e n h n π b a ∫ 0 a h x s e n   n π x a d x

c n = 2 b senh ⁡ n π a b ∫ 0 b f y sen ⁡ n π y b d y

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