Em cada um dos problemas de 1 a 4, verifique se (0, 0) é um ponto crítico, mostre que o sistema é localmente linear e discuta o tipo e a estabilidade do ponto crítico (0, 0) examinando o sistema linear correspondente.

4)

dx/dt = x + y^2, dy/dt = x + y

Passo 1

Primeiramente vamos reescrever o sistema na seguinte forma:

x ' = A x + g x

d d t x y = 1 0 1 1 x y + y 2 0

Passo 2

Agora zerando a coluna x y = 0 , para verificar se ( 0,0 ) é um ponto crítico. Temos que ter o resultado igual vetor zero, vamos lá.

d d t x y = 1 0 1 1 ∙ 0 0 + 0 2 0 = 0 0

Agora podemos identificar a nossa g x = y 2 0 , para mostrar que g 1 x r → = 0 e   g 2 x r → = 0 .

Reescrevendo g x na forma polar temos, x = r cos ⁡ θ , y = r   s e n   θ .

g 1 x r = y 2 r = r 2   s e n 2 θ r = r   s e n 2   θ

Com r → 0 , temos:

g 1 x r = 0

g 2 x r = 0 r = 0

Bem isto é um ótimo sinal para dizer que o sistema quase linear, ou melhor, localmente linear. provamos que a origem é um ponto critico isolado do sistema linear.

Passo 3

Tendo nosso sistema homogêneo:

d d t x y = 1 0 1 1 x y

E equação característica dele é dada por:

det ⁡ A - r I = 1 0 1 1 - r 0 0 r

Efetuando a subtração e executando o determinante temos:

1 - r 2 = 0

Com raízes características:

r 1 , 2   = 1

Consequentemente, temos autovalores reais e igual 1. Portanto, a origem é um nó impróprio tendo como instável e um sistema não linear isto é igual para o nó ou espiral sendo instável.

Resposta

Consequentemente, temos autovalores reais e igual 1. Portanto, a origem é um nó impróprio tendo como instável e um sistema não linear isto é igual para o nó ou espiral sendo instável.

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