Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 13

Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

y '   =   2 x / ( y   +   x 2 y ) ,   y ( 0 )   = - 2

Passo 1

L e t r a   A :

A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado. Antes, vamos substituir o y’ por d y d x .

Assim, temos:

d y d x =   2 x y   +   x 2 y

d y d x = 2 x y 1 + x 2

y d y = 2 x 1 + x 2 d x

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados! Integrando dos dois lados, temos:

∫ y d y =   ∫ 2 x 1 + x 2 d x →

y 2 2 + c = ln ⁡ 1 + x 2 +   c '  

OBS: Essa integral do lado direito pode ser feita fazendo a substituição de 1 + x 2 por um t . Oberve que de fato a derivada de ln ⁡ 1 + x 2 é o termo da integral, de modo que acertamos .

y 2 2 =   ln ⁡ 1 + x 2 + C  

Passando o 2 pro outro lado multiplicando...

y 2 =   2 ln ⁡ 1 + x 2 + 2 C  

Observe que 2 C continua sendo uma constante desconhecida que vamos simplesmente deixar como C mesmo, saca? Extraindo a raiz...

y = ± l n   ( x 2 + 1 ) 2 + C  

Mas observe que precisamos escolher um lado, já que ± √ não é função. A dica de que lado escolher, está na informação de que y ( 0 )   = - 2 do enunciado, portanto, devemos escolher o lado negativo>

y = - l n   ( x 2 + 1 ) 2 + C  

Ao substituir a informação y ( 0 )   = - 2 encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

- 2 = - l n   ( 0 2 + 1 ) 2 + C  

C   = 4

Assim, a equação é:

y = - l n   ( x 2 + 1 ) 2 + 4  

Passo 2

L e t r a   B :

Passo 3

L e t r a   C :

Temos como equação final da EDO o seguinte:

y = - l n   ( x 2 + 1 ) 2 + 4  

Repare que essa solução é válida para todo x que torne positivo o valor de dentro da raiz, afinal, raiz não pode receber números negativos dentro dela:

l n   ( x 2 + 1 ) 2 + 4 ≥ 0     →

l n   ( x 2 + 1 ) 2 ≥ - 4

Só que para todo x , por causa dos termos ao quadradp...

( x 2 + 1 ) 2 ≥ 1       →         ln ⁡ ( x 2 + 1 ) 2 ≥ 0 > - 4

Então podemos garantir que para todo x ∈ R , a função resposta está definida!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use uma calculadora para isso, tanto uma função exponencial e uma função logística para esses dados. Faça um gráfico dos pontos de dados e ambas as funções, e comente a precisão dos modelos. [Dica: su
A população do mundo era de cerca de 6,1 bilhões em 2000. As taxas de natalidade naquela época variaram de 35 a 40 milhões por ano e as taxas de mortalidade variaram de 15 a 20 milhões por ano. Vamos
O objeto em queda no Exemplo 2 satisfaz o problema de valor inicial d v d t =9,8 - v 5 , v 0 = 0 a) Encontre o tempo necessário para que o objeto atinja 98% de sua velocidade limiteb) Qual a distancia
Modifique o exemplo 2 para que o objeto não sofra resistência do ar.(a) Escreva o problema de valor inicial modificado(b) Determine quanto tempo leva para o objeto atingir o solo.(c) Determine sua vel
Coeficientes a determinar. Vamos mostrar um modo diferente de resolver a equação d y d t = a y - b (a) Resolva a equação simples d y d t = a y (b) Observe que a única diferença entre as Eqs. (i) e (ii