Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 5

Coeficientes a determinar. Vamos mostrar um modo diferente de resolver a equação

d y d t = a y - b

(a) Resolva a equação simples

d y d t = a y

(b) Observe que a única diferença entre as Eqs. (i) e (ii) é a constante -b na Eq.1. Parece razoável, portanto supor que as soluções dessas equações diferem de apenas uma constante. Teste essa hipótese tentando encontrar uma constante k tal que y   =   y 1 t + k é uma solução da Eq.1.

Passo 1

Vamos agora ver como resolvemos edo do seguinte tipo:

d y d t = a y

Sabemos que y é função de t, portanto multiplicamos ambos os lados da equação por d t .

d y = a y d t ⇒ d y y = a d t   c o m   a ≠ 0

Agora, integramos ambos os lados

∫ d y y = ∫ a d t ⇒ ln ⁡ y = a t + C  

⇒ y 1 = c e a t

Passo 2

b) Seja   y   =   y 1 t + k solução de Eq.1, portanto

y 1 ' t = a y 1 t + k - b  

a c e a t = a c e a t + a k - b

k   = b a

Resposta

y 1 = c e a t

k   = b a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique que a função dada é solução da equação dada. x t = tg ⁡ t , - π 2tπ 2 , e d x d t = 1 + x 2
Determine as funções constantes, caso existam, que sejam soluções da equação dada. d x d t = t x 2
Determine as funções constantes, caso existam, que sejam soluções da equação dada. d y d x = 1 + y 2
Determine as funções constantes, caso existam, que sejam soluções da equação dada. d x d t = t x - 1
Determine as funções constantes, caso existam, que sejam soluções da equação dada. d x d t = 1 - x 2