Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.4 - Ex. 9
A população do mundo era de cerca de 6,1 bilhões em 2000. As taxas de natalidade naquela época variaram de 35 a 40 milhões por ano e as taxas de mortalidade variaram de 15 a 20 milhões por ano. Vamos supor que a capacidade de suporte para o mundo população é de 20 bilhões.
- Escreva a equação diferencial logística para esses dados.
- Use o modelo logístico para estimar a população mundial
- Use o modelo logístico para prever a população mundial
(Como a população inicial é pequena em comparação com a
capacidade de carga, você pode considerar k como uma estimativa de
a taxa de crescimento relativo inicial.)
no ano de 2010 e comparar com a população real de 6,9 bilhões.
nos anos 2100 e 2500
Passo 1
Oiii, temos uma questão que vai exigir um pouco de nós agora. Temos que olhar para esse enunciado e tentar traduzir o que ele nos diz. No caso da questão a) vamos usar a expressão padrão para crescimento populacional é
Onde P é a nossa População
K é a taxa de crescimento
M é a capacidade de carga
O enunciado nos diz que podemos ignorar a parte para poder facilitar a descoberta de k ( medido em bilhões ) como :
Vamos agora usar os dados do próprio enunciado para descobrir o valor k
NascimentoMorte
(Milhões)
Mas nossa população esta em bilhão. Vamos mexer com nossos dados então
E nossa população inicial é
Agora que já temos tudo. Vamos calcular k.
Como já estimamos k. Vamos usar esse valor na nossa equação de crescimento completa
Beleza \o/ conseguimos! Vamos para o próximo item.
Passo 2
Temos que resolver essa equação diferencial e encontrar . O próprio Stewart nos dá essa solução, cujo desenvolvimento se dá por de integração por partes, dizendo que
Onde
Ou
E Cé nossa constante arbitraria de integração indefinida. Como o enunciado nos diz que . Vamos plotar esse valor
Agora vamos descobrir a solução de
Beleza. Conseguimos uma expressão para a população. Mas temos ainda que descobrir . Podemos usar dados de contorno para isso. O enunciado nos diz que bilhões (considerando o ano 2000 como nosso marco ). Bora calcular!
C está no denominador. Vamos inverter essa fração e isolar C
Então nossa função fica
Passo 3
b) Já conseguimos a expressão para o crescimento mundial em função do tempo. Vamos descobrir agora se nosso modelo bate com os dados testando em
bilhões
Se formos comparar com os dados reais que em 2010 tínhamos 6,9 bilhões, então nossas estimativas estão subestimando nosso crescimento populacional real.
Passo 4
C) Sabemos que estamos subestimando os valores, mas se continuarmos com a mesma taxa de crescimento que nossa suposição, então nossa população mundial em 2100 será
Ou seja, teremos
bilhões
Lembrando que já ultrapassamos a marca de 7,7 bilhões em 2019. Rsrs. Batemos a meta 81 anos antes de nosso modelo matemático. A ONU (em 2019) melhorou nosso modelo populacional e estimou uma população de 11,2 bi em 2100.
Passo 5
Agora a última parte do nosso problema. Segundo nosso modelo, em 2500, ou seja, teremos
bi
Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/
Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
- bilhões
- bilhões
bilhões