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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 9

O objeto em queda no Exemplo 2 satisfaz o problema de valor inicial

d v d t =   9,8 - v 5 , v 0 = 0

a) Encontre o tempo necessário para que o objeto atinja 98% de sua velocidade limite

b) Qual a distancia percorrida pelo objeto até o instante encontrado anteriormente

Passo 1

a) Vamos agora ver como resolvemos edo do seguinte tipo:

d v d t =   9,8 - v 5

Sabemos que y é função de t, portanto multiplicamos ambos os lados da equação por d t .

d v = 9,8 - v 5 d t ⇒ d v v - 5 × 9,8 = - 1 / 5 d t  

Agora, integramos ambos os lados

∫ d v v - 5 × 9,8 = ∫ - 1 / 5 d t   ⇒ ln ⁡ v - 5 × 9,8 = - 1 / 5 t + C  

⇒ v = c e - 1 / 5 t + 4 9

Usando o valor inicial, ficamos com:

c   =   - 49

Mas a   =   d v / d t e a velocidade limite é quando a é nulo

Portanto,   v   =   49

0,98 × 49 = - 49 e - 1 / 5 t + 49

0,98   =   1 - e - 1 / 5 t

t   =   19,56   s

Passo 2

b) v = - 49 e - 1 / 5 t + 49

d x d t = - 49 e - 1 / 5 t + 49

Integrando ambos os lados

x   =   ∫ 0 19,56 - 49 e - 1 / 5 t + 49 = 718,34   m

Resposta

t   =   19,56   s

x   =   718,34   m

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