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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 21

Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .

21.

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

Passo 1

Fala galera!!!

Para resolver essa questão, precisamos fazer com que o termo geral da série que está em função de x n - 2 ,

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

passe a ficar em função de x n . Para isso podemos substituir n por k + 2 na série acima.

Passo 2

Vamos fazer então a substituição. Assim temos:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 = ∑ k + 2 = 2 ∞ k + 2 k + 2   - 1 a k + 2 x k + 2 - 2

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 = ∑ k = 2 - 2 ∞ k + 2 k + 2 - 1 a k + 2 x k + 2 - 2

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 = ∑ k = 0 ∞ k + 2 k + 1 a k + 2 x k

Podemos substituir a variável muda k por n , obtendo assim:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n

Portanto, a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n é

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n

Resposta

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n

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