Dados que , calcule e e escreva os quatros primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de no termo geral. Mostre que, se , então os coeficientes e são arbitrários; determine e em função de e . Mostre que , .

Vamos começar a resolver esse questão calculando . Para isso podemos expandir a série da seguinte maneira:

Agora, vamos diferenciar a equação acima em relação a . Dessa forme temos:

Assim, os 4 primeiros termos da série de são:

Podemos ver que os termos da série acima segue o seguinte padrão:

Logo, o coeficiente de do termos geral é:

Podemos escrever a série da seguinte maneira:

Agora, queremos encontrar . Para isso podemos expandia a série da seguinte maneira:

Agora, vamos diferencia a série acima em relação a . Assim temos:

Assim, os 4 primeiros termos da série de são:

Podemos ver que os termos da série acima segue o seguinte padrão:

Logo, o coeficiente de do termos geral é:

Podemos escrever a série da seguinte maneira:

Agora, vamos fazer , para provar que os coeficientes e são arbitrários. Assim temos:

Usando a afirmação 10 da seção 5.1, temos que:

Ou seja:

Assim, encontrando e em função de e , temos

Também temos que: