Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 19

Em cada um dos problemas de 15 a 22:

(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

19.

f x = 0 , 1 , 2 ,           0 < x < π π < x < 2 π 2 π < x < 3 π         s é r i e   e m   s e n o s ,   p e r í o d o   6 π

Passo 1

(a) Fala galera!!!

A equação fornecida é a seguinte:

f x = 0 , 1 , 2 ,           0 < x < π π < x < 2 π 2 π < x < 3 π

Queremos encontrar a série de Fourier para senos e esboçar o gráfico da função. Assim, precisamos encontrar o coeficiente b n para a extensão impar de período 2 L da função f x .

Passo 2

Agora, vamos calcular o coeficiente b n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x                           n = 1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

Para este caso, L = 3 π .

Passo 3

Então, temos que b n é o seguinte:

b n = 2 3 π ∫ 0 3 π f x sen ⁡ n π x 3 π d x

b n = 2 3 π ∫ 0 π 0 sen ⁡ n x 3 d x + 2 3 π ∫ π 2 π 1 sen ⁡ n x 3 d x + 2 3 π ∫ 2 π 3 π 2 sen ⁡ n x 3 d x

b n = 2 3 π ∫ π 2 π sen ⁡ n x 3 d x + 2 3 π ∫ 2 π 3 π 2 sen ⁡ n x 3 d x

b n = 2 3 π - 3 n cos ⁡ n x 3 π 2 π + 2 3 π - 6 n cos ⁡ n x 3 2 π 3 π

b n = 2 π - 1 n cos ⁡ n 2 π 3 + 1 n cos ⁡ n π 3 + 2 π - 2 n cos ⁡ n 3 π 3 + 2 n cos ⁡ n 2 π 3

b n = - 2 n π cos ⁡ 2 n π 3 + 2 n π cos ⁡ n π 3 - 4 n π cos ⁡ n π + 4 n π cos ⁡ 2 n π 3

b n = 2 n π cos ⁡ n π 3 - 4 n π cos ⁡ n π + 2 n π cos ⁡ 2 n π 3

b n = 2 n π cos ⁡ n π 3 + cos ⁡ 2 n π 3 - 2 cos ⁡ n π

Passo 4

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 2, temos que a série de Fourier para um a extensão par de f x é a seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n π cos ⁡ n π 3 + cos ⁡ 2 n π 3 - 2 cos ⁡ n π sen ⁡ n x 3

Passo 5

(b) Podemos esboçar o gráfico da função na qual a série converge em 6 π períodos da seguinte maneira:

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n π cos ⁡ n π 3 + cos ⁡ 2 n π 3 - 2 cos ⁡ n π sen ⁡ n x 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 7 a 12, é dada uma função f em um intervalo de comprimento L . Em cada caso, esboce os gráficos da extensão par e da extensão ímpar de f de período 2 L .11. f x = 0 , 1 , 0
Em cada um dos problemas de 15 a 22:(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.20. f x = x
14. Encontre os coeficientes para as séries em cossenos e em senos descritas no Exemplo 2.
Em cada um dos problemas de 7 a 12, é dada uma função f em um intervalo de comprimento L . Em cada caso, esboce os gráficos da extensão par e da extensão ímpar de f de período 2 L .8. f x = 0 , x - 1