Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 20
Em cada um dos problemas de 15 a 22:
(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.
20.
Passo 1
(a) Fala galera!!!
A equação fornecida é a seguinte:
Queremos encontrar os coeficientes e para as series em cosseno e seno das extensões par e impar para um período da função .
Em que a pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:
Onde os coeficientes e são dados pela seguinte expressão:
Para este caso, .
Passo 2
Podemos observar que é especificado durante todo o período fundamental e, portanto, não podemos estender para torná-la uma função ímpar ou par. Podemos usar os resultados do Problema 27 da Seção 10.2 para escrever as integrais de e . Ou seja, se é periódico de período , então toda integral de em um intervalo de comprimento tem o mesmo valor. Assim, podemos dizer que:
E
Passo 3
Então, para , podemos calcular da seguinte maneira:
Agora, vamos calcular . Assim temos:
Temos que sempre será , temos também que e .
Temos que sempre será 1. Logo:
Passo 4
Agora, vamos calcular . Assim temos que:
Temos que e que sempre será . Assim temos que:
Temos que independente de o sempre será 1. Logo:
Passo 5
Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 1, temos que a série de Fourier de é a seguinte:
Portanto, a solução necessária é:
Passo 6
(b) Podemos esboçar o gráfico da função da seguinte maneira:
