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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 26

Em cada um dos problemas de 24 a 27, verifique se as funções y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?

x 2 ⋅ y ' ' - x ⋅ x + 2 ⋅ y ' + x + 2 ⋅ y = 0 ,     x > 0 ;     y 1 x = x ,     y 2 x = x ⋅ e x

Passo 1

Para resolvermos, vamos analisar cada possível solução e após isso calcularemos o Wronskiano para verificar se as soluções constituem um conjunto fundamental de soluções.

Passo 2

Bom, pra começar vamos analisar y 1 = x . Se derivarmos duas vezes e substituirmos todos os valores na equação vamos chegar que

x 2 ⋅ 0 - x ⋅ x + 2 ⋅ 1 + x + 2 ⋅ x = 0

x 2 + 2 x - x 2 - 2 x = 0

Assim, y 1 = x é uma solução. Agora para y 2 = x ⋅ e x , temos que

x 2 ⋅ e x + e x + x ⋅ e x - x ⋅ x + 2 ⋅ e x + x ⋅ e x + x + 2 ⋅ x ⋅ e x = 0

x 2 ⋅ 2 e x + x 3 e x - x 2 e x - x 3 e x - x ⋅ 2 e x - x 2 ⋅ 2 e x + x 2 e x + x ⋅ 2 e x = 0

Sendo também uma solução. Agora para verificar se constituem um conjunto fundamental de soluções, vamos calcular o Wronskiano e se ele der diferente de zero o conjunto sera um fundamental.

W x ,   x ⋅ e x = f 1 x f 2 x f 1 ' x f 2 ' x = x x ⋅ e x 1 e x 1 + x )

Calculando agora o determinante dessa matriz, temos que

x ⋅ e x 1 + x - x ⋅ e x = x ⋅ e x

Assim, temos que o Wronskiano da nossa equação é W = x 2 ⋅ e x e as soluções formam um conjunto fundamental.

Resposta

Sim.

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