Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 28
Considere a equação .
- Mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções.
- Sejam , e As funções também são soluções da equação diferencial dada?
- Determine se cada par a seguir forma um conjunto fundamental de soluções: ;
Passo 1
Para resolvermos, vamos analisar cada possível solução e após isso calcularemos o Wronskiano para verificar se as soluções constituem um conjunto fundamental de soluções.
Passo 2
- Para verificar se constituem um conjunto fundamental de soluções, vamos calcular o Wronskiano e se ele der diferente de zero o conjunto sera um fundamental.
- Bom, temos que todas as outras soluções são combinações lineares de uma equação geral, onde
- Bom, vamos lá novamente calcular os Wronskianos da nossa equação. Para o primeiro conjunto, temos que:
Calculando agora o determinante dessa matriz, temos que
Que não é zero para o intervalo dado, assim temos que o Wronskiano da nossa equação é e as soluções formam um conjunto fundamental.
Passo 3
Logo, todas as soluções que sejam combinações lineares das soluções que formam um conjunto fundamental também serão soluções da nossa equação diferencial.
Passo 4
Calculando agora o determinante dessa matriz, temos que
Que não é zero, assim temos que o Wronskiano da nossa equação é e as soluções formam um conjunto fundamental.
Para o segundo conjunto, temos que:
Calculando agora o determinante dessa matriz, temos que
Que é zero, assim temos que o Wronskiano da nossa equação é e as soluções não formam um conjunto fundamental.
Se fizermos o exato mesmo processo para os dois últimos conjuntos, vamos chegar que o terceiro conjunto será um conjunto fundamental de soluções e que o último conjunto não será um conjunto fundamental de soluções.
Resposta
- Formam um conjunto de soluções.
- Sim, são soluções.
- Conjunto 1 e 3 são fundamentais e os conjuntos 2 e 4 não são.