Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em [-∞, ∞]

f₁(x) = cos(2x); f₂(x) = 1; f₃(x) = cos²(x)

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, a gente tem que ver se essas três funções são linearmente dependentes ou independentes.

Como que a gente sabe?

Se existir constantes não nulas c 1 ,   c 2 e   c 3 tal que:

c 1 f 1 + c 2 f 2 + c 3 f 3 = 0

Então elas são LD. Do contrário, são LI.

Beleza?

Vamos ver isso na nossa agora.

Passo 2

Aqui nós temos as funções:

f 1 x = cos ⁡ 2 x ;   f 2 x = 1 ;     f 3 x = cos 2 ⁡ x

Vamos lembrar de uma relação trigonométrica que é assim:

cos ⁡ 2 x = 2 cos 2 ⁡ x - 1

Então... se a gente fizer:

c 1 = 1 ;     c 2 = 1 ;     c 3 = - 2

Temos:

1 cos ⁡ 2 x - 2 cos 2 ⁡ x + 1 1 = 0

E aí vemos que elas são linearmente dependentes 😉

Resposta

Linearmente dependentes.

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