Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em [-∞, ∞]

f₁(x) = cos(2x); f₂(x) = 1; f₃(x) = cos²(x)

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, a gente tem que ver se essas três funções são linearmente dependentes ou independentes.

Como que a gente sabe?

Se existir constantes não nulas c 1 ,   c 2 e   c 3 tal que:

c 1 f 1 + c 2 f 2 + c 3 f 3 = 0

Então elas são LD. Do contrário, são LI.

Beleza?

Vamos ver isso na nossa agora.

Passo 2

Aqui nós temos as funções:

f 1 x = cos ⁡ 2 x ;   f 2 x = 1 ;     f 3 x = cos 2 ⁡ x

Vamos lembrar de uma relação trigonométrica que é assim:

cos ⁡ 2 x = 2 cos 2 ⁡ x - 1

Então... se a gente fizer:

c 1 = 1 ;     c 2 = 1 ;     c 3 = - 2

Temos:

1 cos ⁡ 2 x - 2 cos 2 ⁡ x + 1 1 = 0

E aí vemos que elas são linearmente dependentes 😉

Resposta

Linearmente dependentes.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas 22 e 23, encontre o conjunto fundamental de soluções especificado pelo Teorema 3.2.5 para a equação diferencial e o ponto inicial dados.23. y'' + 4y' + 3y = 0 , t₀ = 1 .
No método de Picard, a escolha inicial y₀(x) = y₀ não é necessária. Refaça o Problema 3 com (a) y_0(x) = k uma constante e k ≠ 1 e (b) y₀(x) = x .
Nos Problemas 1-6, use o método de Picard para encontrar y_1, y_2, y_3, y_4. Determine o limite da sequência {y_n | x} quando n → ∞ y' + y^2 = 0, y(0) = 0
Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em [-∞, ∞] .16. f1(x) = 0, f2(x) = x, f3(x) = e^x
Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em [-∞, ∞] .17. f₁(x) = 5, f₂(x) = cos²(x), f₃(x) = sen²(x)