Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 27
Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada.
Passo 1
Vamos utilizar o problema 23 para resolver nosso problema. Depois para resolvermos vamos aplicar a lógica de derivar e integrar nossas função. Segue o passo a passo para achar nossa solução durante nossa resolução.
Suponha uma equação dada da seguinte forma
Dizemos que ela é exata, se e somente se
Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial
Passo 2
Pensando em usar a equação sugerida no exercício 23 para achar o fator integrante
Devemos primeiro determinar quem é nossa .
Assim vamos calcular
Assim temos que
Assim temos que
Assim nossa função se transforma em
Passo 3
Agora queremos achar quem é nossa função potencial
Imagine que tenhamos uma função , que quando derivamos em cada direção teremos
E
Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação
A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.
A integral da direita é tranquila, certo? Assim
Se derivarmos, deveríamos obter , ou seja
Com
E a pergunta é, quanto vale ? Basta integrar, não? Assim teremos
O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é