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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 2

Em cada um dos problemas de 1 a 4, construa uma função de Liapunov adequada da forma a x 2 + c y 2 , em que a e c devem ser determinados. Depois, mostre que o ponto crítico na origem é do tipo indicado.

d x d t = - 1 2 x 3 + 2 x y 2 ,     d y d t = - y 3 ;           ( a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l )

Passo 1

Tá legal, vamos considerar uma função genérica de Liapunov da forma:

V x , y = a x 2 + c y 2

E, a taxa de mudança de V ao longo de qualquer trajetória é:

V ˙ = V x . d x d t + V y . d y d t

Então, substituindo os valores conhecidos nesse caso, chegamos em:

V ˙ = 2 a x - 1 2 x 3 + 2 x y 2 + 2 c y - y 3 → V ˙ = - a x 4 + 4 a x 2 y 2 - 2 c y 4

Passo 2

Agora nós vamos utilizar a técnica de completar quadrados para a equação obtida no passo 1, para que possamos escrever a equação de Liapunov na forma pedida:

V ˙ = - a x 4 + 4 a x 2 y 2 - 2 c y 4 = - a x 4 - 4 x 2 y 2 - 2 c y 4

V ˙ = - a x 4 - 4 x 2 y 2 + 4 y 4 + 4 a y 4 - 2 c y 2

Observe que somamos e subtraímos o termo 4 a y 4 , então, reescrevendo a equação, temos:

V ˙ = - a x 2 - 2 y 2 2 + 4 a - 2 c y 4

Passo 3

Agora, analisando a equação obtida no passo 2, se tivermos a > 0 e c > 0 , então V ( x , y ) será definida positiva. Agora, tendo 4 a - 2 c < 0 → c > 2 a , então V ˙ ( x , y ) é definida negativa. Um exemplo poderia ser:

V x , y = 2 x 2 + 5 y 2

Observe que a e c são maiores que zero e que c > 2 a . E, do teorema 9.6.1, a origem é assintoticamente estável.

Resposta

V x , y = 2 x 2 + 5 y 2

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