Em cada um dos problemas de 1 a 4, construa uma função de Liapunov adequada da forma a x 2 + c y 2 , em que a e c devem ser determinados. Depois, mostre que o ponto crítico na origem é do tipo indicado. d x d t = - 1 2 x 3 + 2 x y 2 , d y d t = - y 3 ;( a s s i n t o t i c a m e n t ee s t á v e l ) á

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 2

Em cada um dos problemas de 1 a 4, construa uma função de Liapunov adequada da forma , em que e devem ser determinados. Depois, mostre que o ponto crítico na origem é do tipo indicado.

Passo 1

Tá legal, vamos considerar uma função genérica de Liapunov da forma:

E, a taxa de mudança de ao longo de qualquer trajetória é:

Então, substituindo os valores conhecidos nesse caso, chegamos em:

Passo 2

Agora nós vamos utilizar a técnica de completar quadrados para a equação obtida no passo 1, para que possamos escrever a equação de Liapunov na forma pedida:

Observe que somamos e subtraímos o termo , então, reescrevendo a equação, temos:

Passo 3

Agora, analisando a equação obtida no passo 2, se tivermos e , então será definida positiva. Agora, tendo , então é definida negativa. Um exemplo poderia ser:

Observe que e são maiores que zero e que . E, do teorema 9.6.1, a origem é assintoticamente estável.

Resposta

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Encontre os pontos críticos.

Desenhe um campo de direções e descreva como as soluções parecem se comportar.

Para cada ponto crítico, encontre o sistema linear correspondente. Encontre os autovalores e autovetores do sistema linear; classifique cada ponto crítico em relação ao tipo e determine se é assintoti

Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada ponto crítico. Desenhe um retrato de fase para o sistema.

Determine o comportamento limite de x e y quando t → ∞ e interprete os resultados em termos das populações das duas espécies.