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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.7 - Ex. 5

Em cada um dos problemas de 1 a 6, um sistema autônomo está expresso em coordenadas polares. Determine todas as soluções periódicas, todos os ciclos limites e suas características de estabilidade.

d r d t = s e n ( π r ) ,     d θ d t = - 1

Passo 1

Beleza! Vamos começar encontrando os pontos críticos da equação dada, então, temos:

d r d t = s e n ( π r ) = 0

Essa equação será igual a zero quando:

r = n ,   n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Passo 2

Então, agora, analisando o sinal dos pontos críticos, lembrando do círculo trigonométrico, onde temos o seno positivo de 0 até 180° e negativo de 180° até 360°. Dessa forma, quando tivermos r = 2 k , onde k = 1 ,   2 ,   3 ,   … , então, teremos pontos críticos instáveis. Esses pontos possuem ciclos limite da forma:

r = 2 k ; d θ d t = - 1 → θ = - t + t 0

E, consequentemente, esse ciclo limite será instável.

Passo 3

Agora, quando tivermos r = 2 k + 1 com k = 0 ,   1 ,   2 ,   … então teremos pontos críticos estáveis, então os ciclos limites serão:

r = 2 k + 1 ; d θ d t = - 1 → θ = - t + t 0

Que também serão ciclos limites estáveis.

Resposta

r 1 = 0   i n s t á v e l

r 2 = 2 k   ( i n s t á v e l )

r 3 = 2 k + 1   ( e s t á v e l )

r = 2 k ;   θ = - t + t 0   ( i n t á v e l )

r = 2 k + 1 ; θ = - t + t 0   e s t á v e l

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