Use a fórmula de Abel para encontrar o wronskiano de um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada.

t y ' ' ' + 2 y ' ' - y ' + t y = 0

Passo 1

Vamos começar relembrando o que diz o teorema de Abel. Este teorema mostra que, para uma equação homogênea da forma:

y ( n ) + p 1 t y n - 1 + … + p n t y = 0

Podemos usar a seguinte fórmula para calcular o wronskiano:

W y 1 , … ,   y n t = c exp ⁡ - ∫ p 1 t d t

Tudo bem???

Passo 2

Nosso primeiro passo será encontrar qual é a função p 1 ( t ) para a nossa equação diferencial. A função p 1 ( t ) é aquela que multiplica a derivada de ordem n - 1 . Para o nosso caso, temos uma equação diferencial de ordem n = 3 , então n - 1 = 2 . Mas antes, vamos reescrever a equação diferencial:

t y ' ' ' + 2 y ' ' - y ' + t y = 0

y ' ' ' + 2 t y ' ' - 1 t y ' + y = 0

p 1 t = 2 / t

Passo 3

Aplicando a fórmula de Abel:

W y 1 , … ,   y n t = c exp ⁡ - ∫ p 1 t d t

W y 1 , … ,   y n t = c exp ⁡ - ∫ 2 t d t

W y 1 , … ,   y n t = c exp ⁡ - 2 ∫ d t t

W = c e - 2 ln ⁡ t

W = c e ln ⁡ t - 2

W = c t - 2 = c / t 2

Resposta

O wronskiano é W = c / t 2   .

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