Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.5 - Ex. 1
Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se puder, encontre as equações.
1.
Passo 1
Fala galera!!!
Nos foi dado a seguinte equação diferencial parcial
Nosso objetivo é resolver a equação diferencial parcial, usando o método da separação de variáveis.
Passo 2
Para resolver a equação diferencial parcial usando o método de separação de variáveis, vamos supor que a solução da equação diferencial parcial seja dada da seguinte forma:
Agora, podemos diferenciar parcialmente a equação acima em relação a .
Podemos diferencia novamente em relação a . Assim temos:
Podemos também diferencia em relação a . Assim temos:
Passo 3
Com os resultados obtidos no passo anterior, podemos substituir e na equação diferencial parcial. Assim temos:
Ou seja:
Reorganizando, temos:
Podemos dizer que os termos são iguais a uma constante . Assim temos:
Ou seja:
Também podemos dizer que:
Portanto, a equação diferencial parcial pode ser separada como um par de equações diferenciais ordinárias: